2017年度「プログラミング言語1」「プログラミング言語演習」のページ

補足資料

命題

正の実数 \(a\) と \(b\) が \(a\gt b\) をみたすとする。 数列 \(\langle a_n\rangle\) と \(\langle b_n\rangle\) を以下の漸化式で定義する。 \[ a_{1} = \frac{a+b}{2} \] \[ b_{1} = \sqrt{ab} \] \[ a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \] \[ b_{n+1} = \sqrt{a_nb_n} \] このとき、 \[ 0 \lt a_n-b_n \lt \frac{a-b}{2^n} \] が成り立つ。

証明

数学的帰納法で示す。

\[ \begin{aligned} a_1-b_1 &= \frac{a+b}2 - \sqrt{ab} \\ &= \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \\ &\lt \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} + (\sqrt{a}-\sqrt{b})\sqrt{b} \\ &= \frac{a-b}{2} \end{aligned} \] が成り立つ。すなわち、\(1\)で成り立つ。

\(n\) で成り立つと仮定する。

\[ \begin{aligned} a_{n+1}-b_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2 - \sqrt{a_nb_n} \\ &= \frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2} \\ &\lt \frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2} + (\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})\sqrt{b_n} \\ &= \frac{a_n-b_n}{2} \\ &\lt \frac{a-b}{2^{n+1}} \end{aligned} \] が成り立つ。 さらに、算術平均と幾何平均の関係より、 \[ a_{n+1}-b_{n+1}\lt0 \] も成り立つ。 すなわち、\(n+1\)で成り立つ。


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奈良女子大学生活環境学部情報衣環境学科生活情報通信科学コース