三角形の心

ユークリッド平面上に三角形 \(ABC\) を固定する。点 \(X\) が実数の三つ組 \(\lambda,\mu,\nu\) を使って \(X=\lambda:\mu:\nu\) と書けることを、\(\lambda+\mu+\nu\ne0\) の場合と \(\lambda+\mu+\nu=0\) の場合に分けて、以下のように定義する。

射影平面の斉次座標を使うと、以上の二つの場合をまとめて記述できる。三頂点の斉次座標を \(A=(1:0:0)\), \(B=(0:1:0)\), \(C=(0:0:1)\) に正規化したとき、点\(X\)が実数の三つ組 \(\lambda,\mu,\nu\) を使って斉次座標で \((\lambda:\mu:\nu)\) と書けるならば、\(X=\lambda:\mu:\nu\) である。

366 心登録済み。

名称についてはEncyclopedia of Triangle Centersを参考にしているが、まったく同一ではない。

X₁ 内心 incenter

\(f(a,b,c)=a\)

X₂ 重心 centroid

\(f(a,b,c)=1\)

X₃ 外心 circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)\)

X₄ 垂心 orthocenter

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₅ 九点円の中心（外心と垂心の中点） nine-point center (midpoint of the circumcenter and the orthocenter)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X₆ 類似重心（ルモワーヌ点）（グレーベ点） symmedian point (Lemoine point) (Grebe point)

\(f(a,b,c)=a^2\)

X₇ ジェルゴンヌ点 Gergonne point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a-b)(a+b-c)\)

X₈ ナーゲル点 Nagel point

\(f(a,b,c)=b+c-a\)

X₉ ミッテンプンクト Mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X₁₀ シュピーカー心（内心とナーゲル点の中点）（中点三角形の内心）（傍接円の根心） Spieker center (midpoint of the incenter and the Nagel point) (incenter of the medial triangle) (radical center of the excircles)

\(f(a,b,c)=b+c\)

X₁₁ フォイエルバッハ点 Feuerbach point

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2\)

X₁₂ 元の三角形とフォイエルバッハ三角形の配景の中心 perspector of the reference triangle and the Feuerbach triangle

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a-b)(a+b-c)(b+c)^2\)

X₁₃ 第一等角心（第一フェルマー点）（フェルマー点）（トリチェリ点） first isogonic center (first Fermat point) (Fermat point) (Torricelli point)

\(f(a,b,c)=[\sqrt{3}(c^2+a^2-b^2)+4\Delta][\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)+4\Delta]\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=a^2(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₁₄ 第二等角心（第二フェルマー点） second isogonic center (second Fermat point)

\(f(a,b,c)=[\sqrt{3}(c^2+a^2-b^2)-4\Delta][\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)-4\Delta]\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=a^2(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₁₅ 第一等力点 first isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta]\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₁₆ 第二等力点 second isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta]\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₁₇ 第一ナポレオン点 first Napoleon point

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2+4\sqrt{3}\Delta)(a^2+b^2-c^2+4\sqrt{3}\Delta)\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=-a^4+a^2(3(b^2+c^2)+4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₁₈ 第二ナポレオン点 second Napoleon point

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2-4\sqrt{3}\Delta)(a^2+b^2-c^2-4\sqrt{3}\Delta)\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=-a^4+a^2(3(b^2+c^2)-4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₁₉ クローソン点 Clawson point

\(f(a,b,c)=a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₂₀ ド・ロンシャン点 de Longchamps point

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)-(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現 \(f(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X₂₁ シフラー点 Schiffler point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b+c-a)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a)(a+b)(b+c-a)\)

X₂₂ エクセター点 Exeter point

\(f(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4)\)

X₂₃ 遥遠点（仮称） far-out point

\(f(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4-b^2c^2)\)

X₂₄ 元の三角形と垂足垂足三角形の配景の中心 perspector of the reference and orthic-of-orthic triangles

\(f(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現 \(f(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₂₅ 垂足三角形と接線三角形の相似中心 homothetic center of the orthic and tangential triangles

\(f(a,b,c)=a^2(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₂₆ 接線三角形の外心 circumcenter of the tangential triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^8-2a^6(b^2+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)]\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2[b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2-2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))]\)

X₂₇ 垂心とクローソン点のチェバ点 cevapoint of the orthocenter and the Clawson point

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₈ クローソン点とX₂₅のチェバ点 cevapoint of the Clawson point and X₂₅

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₉ 内心と垂心のチェバ点 cevapoint of the incenter and the orthocenter

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c-a)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c-a)g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₀ オイラー無限遠点 Euler infinity point

\(f(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X₃₁ 三線二乗点 trilinear second power point

\(f(a,b,c)=a^3\)

X₃₂ 三線三乗点 trilinear third power point

\(f(a,b,c)=a^4\)

X₃₃ 垂足三角形と内接線三角形の配景の中心 perspector of the orthic triangle and the intangents triangle

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₃₄ 垂心の垂心ベート共役点（元の三角形とX₃₃の外向三角形との配景の中心） orthocenter-beth conjugate of the orthocenter (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₃₃)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₅ 元の三角形と傍心三角形の外接円に関する反転との配景の中心（X₃₆の内心外心調和共役点） perspector of the reference triangle and the inverse in the circumcircle of the excentral triangle （incenter-circumcenter-harmonic conjugate of X₃₆）

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)\)

X₃₆ 外接円に関する内心の反転（元の三角形とX₃₅の外向三角形との配景の中心） inverse in the circumcircle of the incenter (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₃₅)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-bc)\)

X₃₇ 内心と重心の交叉点 crosspoint of the incenter and the centroid

\(f(a,b,c)=a(b+c)\)

X₃₈ 内心とX₇₅の交叉点 crosspoint of the incenter and X₇₅

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2)\)

X₃₉ ブロカール中点 Brocard midpoint

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)\)

X₄₀ ベバン点 Bevan point

\(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\right)\)

別解 \(f(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2]\)

X₄₁ 三線二乗点の類似重心チェバ共役点 symmedian-point-Ceva conjugate of the trilinear second power point

\(f(a,b,c)=a^3(b+c-a)\)

X₄₂ 内心と類似重心の交叉点 crosspoint of the incenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2(b+c)\)

X₄₃ 内心の類似重心チェバ共役点 symmedian-point-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

別解 \(f(a,b,c)=a(ab+ac-bc)\)

X₄₄ 内心の類似重心直線共役点 symmedian-point-line conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(b+c-2a)\)

X₄₅ 内心のミッテンプンクトベート共役点 Mittenpunkt-beth conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(2b+2c-a)\)

X₄₆ 内心の垂心チェバ共役点 orthocenter-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a[b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X₄₇ X₃₄のX₁₁₀ベート共役点 X₁₁₀-beth conjugate of X₃₄

\(f(a,b,c)=a^3[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a^3[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4]\)

X₄₈ 内心とX₆₃の交叉点 crosspoint of the incenter and X₆₃

\(f(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X₄₉ 正弦三倍角円の中心 center of the sine-triple angle center

\(f(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X₅₀ X₁₈₄のX₇₄チェバ共役点 X₇₄-Ceva conjugate of X₁₈₄

\(f(a,b,c)=a^4[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X₅₁ 垂足三角形の重心 centroid of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₅₂ 垂足三角形の垂心 orthocenter of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₅₃ 垂足三角形の類似重心 symmedian point of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₅₄ コスニタ点（九点円の中心の等角共役点） Kosnita point (isogonal conjugate of the nine-point center)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X₅₅ 外接円と内接円の内部相似中心（ジェルゴンヌ点の等角共役点） insimilicenter of the circumcenter and the incenter (isogonal conjugate of the Gergonne point)

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)\)

X₅₆ 外接円と内接円の外部相似中心（ナーゲル点の等角共役点）（第一オデーナル点の等距離共役点） exsimilicenter of the circumcenter and the incenter (isogonal conjugate of the Nagel point) (isotomic conjugate of the first Odehnal point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)\)

X₅₇ ミッテンプンクトの等角共役点（元の三角形とミッテンプンクトの外向三角形との配景の中心） isogonal conjugate of the mittenpunkt (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the mittenpunkt)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a-b)(a+b-c)\)

X₅₈ シュピーカー心の等角共役点 isogonal conjugate of the Spieker center

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a)(a+b)\)

X₅₉ フォイエルバッハ点の等角共役点 isogonal conjugate of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(c-a)^2(a-b)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b-c)^2(b+c-a)\)

X₆₀ X₁₂の等角共役点 isogonal conjugate of X₁₂

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c-a)}{(b+c)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a)^2(a+b)^2(b+c-a)\)

X₆₁ 第一ナポレオン点の等角共役点 isogonal conjugate of the first Napoleon point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+4\sqrt{3}\Delta)\)

X₆₂ 第二ナポレオン点の等角共役点 isogonal conjugate of the second Napoleon point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-4\sqrt{3}\Delta)\)

X₆₃ クローソン点の等角共役点 isogonal conjugate of the Clawson point

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2-a^2)\)

X₆₄ ド・ロンシャン点の等角共役点 isogonal conjugate of the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=a^2[a^4+2a^2(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(3b^2+c^2)][a^4-2a^2(b^2-c^2)+(b^2-c^2)(b^2+3c^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2]\)

X₆₅ ジェルゴンヌ三角形の垂心（シフラー点の等角共役点） orthocenter of the Gergonne triangle (isogonal conjugate of the Schiffler point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b+c)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(b+c)(c+a-b)(a+b-c)\)

X₆₆ エクセター点の等角共役点 isogonal conjugate of the Exeter point

\(f(a,b,c)=(c^4+a^4-b^4)(a^4+b^4-c^4)\)

X₆₇ 遥遠点（仮称）の等角共役点 isogonal conjugate of the far-out point

\(f(a,b,c)=(c^4+a^4-b^4-c^2a^2)(a^4+b^4-c^4-a^2b^2)\)

X₆₈ プラソロフ点（X₂₄の等角共役点） Prasolov point (isogonal conjugate of the perspector of X₂₄)

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)[2c^2a^2-(c^2+a^2-b^2)^2][2a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]\)

別表現 \(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)[a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2][a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2]\)

X₆₉ 反中点三角形の類似重心（X₂₅の等角共役点）（垂心の等距離共役点） symmedian point of the anticomplementary triangle (isogonal conjugate of X₂₅) (isotomic conjugate of the orthocenter)

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2\)

X₇₀ X₂₆の等角共役点 isogonal conjugate of X₂₆

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^8-2a^6(b^2+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2)\)

X₇₁ X₂₇の等角共役点 isogonal conjugate of X₂₇

\(f(a,b,c)=a^2(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₇₂ X₂₈の等角共役点（シュピーカー心のナーゲル点チェバ共役点） isogonal conjugate of X₂₈ (Nagel-point-Ceva conjugate of the Spieker center)

\(f(a,b,c)=a(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₇₃ X₂₉の等角共役点（内心と外心の交叉点） isogonal conjugate of X₂₉ (crosspoint of the incenter and the circumcenter)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(b+c)(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₇₄ オイラー無限遠点の等角共役点（第一等力点と第二等力点のチェバ点）（ Λ(重心, 外心) ） isogonal conjugate of the Euler infinity point (cevapoint of the first and second isonynamic points) ( Λ(centroid, circumcenter) )

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X₇₅ 内心の等距離共役点（三線二乗点の等角共役点） isotomic conjugate of the incenter (isogonal conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc\)

X₇₆ 第三ブロカール点（三線三乗点の等角共役点）（類似重心の等距離共役点） third Brocard point (isogonal conjugate of the trilinear third power point) (isotomic conjugate of the symmedian point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2\)

X₇₇ X₃₃の等角共役点 isogonal conjugate of X₃₃

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₇₈ X₃₄の等角共役点 isogonal conjugate of X₃₄

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₇₉ X₃₅の等角共役点 isogonal conjugate of X₃₅

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2+ca)(a^2+b^2-c^2+ab)\)

X₈₀ 内心のフォイエルバッハ点に関する鏡映（X₃₆の等角共役点） (内心のフールマン円についての反転） reflection of the incenter in the Feuerbach point (isogonal conjugate of X₃₆) (inverse-in-Fuhrmann-circle of the incenter)

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2-ca)(a^2+b^2-c^2-ab)\)

X₈₁ 内心と類似重心のチェバ点（X₃₇の等角共役点） cevapoint of the incenter and the symmedian point (isogonal conjugate of X₃₇

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a)(a+b)\)

X₈₂ X₃₈の等角共役点（内心と三線二乗点のチェバ点） isogonal conjugate of X₃₈ (cevapoint of the incenter and the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b^2+c^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c^2+a^2)(a^2+b^2)\)

X₈₃ 重心と類似重心のチェバ点（ブロカール中点の等角共役点） cevapoint of the centroid and the symmedian point (isogonal conjugate of X₃₉

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c^2+a^2)(a^2+b^2)\)

X₈₄ ベバン点の等角共役点（元の三角形とベバン点の外向三角形との配景の中心） isogonal conjugate of the Bevan point (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the Bevan point)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2\)

X₈₅ ミッテンプンクトの等距離共役点（X₄₁の等角共役点） isotomic conjugate of the mittenpunkt (isogonal conjugate of X₄₁)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X₈₆ 内心と重心のチェバ点（X₄₂の等角共役点）（シュピーカー心の等距離共役点） cevapoint of the incenter and the centroid (isogonal conjugate of X₄₂) (isotomic conjugate of the Spieker center)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a)(a+b)\)

X₈₇ 内心の重心交叉共役点（X₄₃の等角共役点）（元の三角形とX₄₃の外向三角形との配景の中心） centroid-cross conjugate of the incenter (isogonal conjugate of X₄₃) (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₄₃)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

別解 \(f(a,b,c)=a(bc+ba-ca)(ca+cb-ab)\)

X₈₈ X₄₄の等角共役点（元の三角形とX₄₄の外向三角形との配景の中心） isogonal conjugate of X₄₄ (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₄₄)

\(f(a,b,c)=a(c+a-2b)(a+b-2c)\)

X₈₉ X₄₅の等角共役点（元の三角形とX₄₅の外向三角形との配景の中心） isogonal conjugate of X₄₅ (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₄₅)

\(f(a,b,c)=a(2c+2a-b)(2a+2b-c)\)

X₉₀ 内心の外心交叉共役点（X₄₆の等角共役点）（元の三角形とX₄₆の外向三角形との配景の中心） circumcenter-cross conjugate of the incenter (isogonal conjugate of X₄₆)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)\)

別表現1 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

別表現2 \(f(a,b,c)=a[a^3+a^2(b-c)-a(b^2+c^2)-(b-c)(b+c)^2][a^3-a^2(b-c)-a(b^2+c^2)+(b-c)(b+c)^2]\)

X₉₁ X₄₇の等角共役点 isogonal conjugate of X₄₇

\(f(a,b,c)=bc[(c^2+a^2-b^2)^2-2c^2a^2][(a^2+b^2-c^2)^2-2a^2b^2]\)

X₉₂ 内心とクローソン点のチェバ点（X₄₈の等角共役点）（X₆₃の等距離共役点） cevapoint of the incenter and the Clawson point (isogonal conjugate of X₄₈) (isotomic conjugate of X₆₃)

\(f(a,b,c)=bc(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₉₃ 正弦三倍角円の中心の等角共役点 isogonal conjugate of the center of the sine-triple angle center

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X₉₄ X₅₀の等角共役点 isogonal conjugate of X₅₀

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X₉₅ 重心と外心のチェバ点（X₅₁の等角共役点）（九点円の中心の等距離共役点） cevapoint of the centroid and the circumcenter (isogonal conjugate of X₅₁) (isotomic conjugate of the nine-point center)

\(f(a,b,c)=[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2][c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]\)

X₉₆ X₅₂の等角共役点（外心とプラソロフ点のチェバ点） isogonal conjugate of X₅₂ (cevapoint of the circumcenter and the Prasolov point)

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₉₇ X₅₃の等角共役点 isogonal conjugate of X₅₃

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X₉₈ タリー点（ Λ(外心, 類似重心) ） Tarry point ( Λ(circumcenter, symmedian point) )

\(f(a,b,c)=(a^4+b^4-a^2c^2-b^2c^2)(a^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2)\)

X₉₉ シュタイナー点 Steiner point

\(f(a,b,c)=(a^2-b^2)(a^2-c^2)\)

X₁₀₀ フォイエルバッハ点の反補点（ Ψ(内心, 重心) ）（ Ψ(垂心, ナーゲル点) ）（ Ψ(類似重心, 内心) ）（ Ψ(ジェルゴンヌ点, ナーゲル点) ） anticomplement of the Feuerbach point ( Ψ(incenter, centroid) ) ( Ψ(orthocenter, Nagel point) ) ( Ψ(symmedian point, incenter) ) ( Ψ(Gergonne point, Nagel point) )

\(f(a,b,c)=a(a-b)(a-c)\)

X₁₀₁ イフ放物線の焦点（ Ψ(重心, 内心) ）（ Ψ(ジェルゴンヌ点, 重心) ） focus of the Yff Parabola ( Ψ(centroid, incenter) ) ( Ψ(Gergonne point, centroid) )

\(f(a,b,c)=a^2(a-b)(a-c)\)

X₁₀₂ Λ(内心, 垂心) Λ(incenter, orthocenter)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^3(b+c)-a^2(b-c)^2+a(b-c)^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2\)

X₁₀₃ Λ(内心, ジェルゴンヌ点) Λ(incenter, Gergonne point)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=2a^3-a^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)\)

X₁₀₄ Λ(内心, 外心) Λ(incenter, circumcenter)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c)-2abc-(b-c)^2(b+c)\)

X₁₀₅ Λ(内心, 類似重心) Λ(incenter, symmedian point)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c)-(b^2+c^2)\)

X₁₀₆ Λ(内心, 重心) Λ(incenter, centroid)

\(f(a,b,c)=a^2(a-2b+c)(a+b-2c)\)

X₁₀₇ Ψ(類似重心, 垂心) （Ψ(外心, 重心)） Ψ(symmedian point, orthocenter) (Ψ(circumcenter, centroid))

\(f(a,b,c)=(a^2-b^2)(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₁₀₈ Ψ(外心, 内心) （Ψ(内心, 垂心)） Ψ(circumcenter, incenter) (Ψ(incenter, orthocenter))

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(a-b+c)(a-b+c)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₁₀₉ Ψ(内心, 外心) （Ψ(垂心, 内心)）（Ψ(重心, ジェルゴンヌ点)） Ψ(circumcenter, incenter) (Ψ(orthocenter, incenter)) (Ψ(centroid, Gergonne point))

\(f(a,b,c)=a^2(a-b)(a-c)(c+a-b)(a-b+c)\)

X₁₁₀ キーペルト放物線の焦点（シュタムラー双曲線の中心） focus of the Kiepert parabola (center of the Stammler hyperbola)

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)\)

X₁₁₁ パリー点（ Λ(重心, 類似重心) ） Parry point ( Λ(centroid, symmedian point) )

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-2b^2+c^2)(a^2+b^2-2c^2)\)

X₁₁₂ Ψ(垂心, 類似重心) （Ψ(重心, 外心)）（Ψ(外心, 類似重心)） Ψ(orthocenter, symmedian point) (Ψ(centroid, circumcenter)) (Ψ(circumcenter, symmedian point))

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₁₁₃ ジェラベック対蹠点（オイラー無限遠点の垂心チェバ共役点） Jerabek antipode (orthocenter-ceva conjugate of the Euler infinity point)

\(f(a,b,c)=[2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2][a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^4-b^2c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)]\)

X₁₁₄ キーペルト対蹠点（垂心とシュタイナー点の中点） Kiepert antipode (midpoint of the orthocenter and the Steiner point)

\(f(a,b,c)=[2a^4-a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2][a^2(b^2+c^2)-(b^4+c^4)]\)

X₁₁₅ キーペルト双曲線の中心（第一等角心と第二等角心の中点） center of the Kiepert hyperbola (midpoint of the first and second isogonic points)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2\)

X₁₁₆ 垂心とX₁₀₃の中点 midpoint of the orthocenter and X₁₀₃

\(f(a,b,c)=(b-c)^2[-a(b+c)+b^2+bc+c^2]\)

X₁₁₇ 垂心とX₁₀₉の中点 midpoint of the orthocenter and X₁₀₉

\(f(a,b,c)=[2a^4-a^3(b+c)-a^2(b-c)^2+a(b-c)^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2][a^4(b^2+c^2)-a^3bc(b+c)-a^2(b-c)^2(2b^2+3bc+2c^2)+abc(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2(b^2-bc+c^2)]\)

X₁₁₈ 垂心とX₁₀₁の中点 midpoint of the orthocenter and X₁₀₁

\(f(a,b,c)=[2a^3-a(b+c)-(b-c)(b^2-c^2)][a^3(b^2+c^2)-a^2(b+c)(b^2-bc+c^2)-a(b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)(b^3-c^3)]\)

X₁₁₉ フォイエルバッハ対蹠点 Feuerbach antipode

\(f(a,b,c)=[a^2(b+c)-2abc-(b-c)^2(b+c)][a^3(b+c)-a^2(b^2+c^2)-a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2]\)

X₁₂₀ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=[a^2(b+c)-2abc+(b-c)^2(b+c)][a(b+c)-b^2-c^2]\)

X₁₂₁ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(2a-b-c)[a(b^2+c^2)+(b+c)(b^2-3bc+c^2)]\)

X₁₂₂ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2(b^2+c^2-a^2)^2[3a^4-2a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₁₂₃ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)[a^4+2a^2bc-2abc(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2]\)

X₁₂₄ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2[-a^2(b+c)+abc+(b+c)(b^2-bc+c^2)]\)

X₁₂₅ ジェラベック双曲線の中心 center of the Jerabek hyperbola

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(b^2-c^2)^2\)

X₁₂₆ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(2a^2-b^2-c^2)[a^2(b^2+c^2)+b^4-4b^2c^2+c^4]\)

X₁₂₇ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2(b^2+c^2-a^2)(b^4+c^4-a^4)\)

X₁₄₀ 外心と九点円の中心の中点（中点三角形の九点円の中心） midpoint of the circumcenter and the nine-point center (nine-point center of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=2a^4-3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

別解 \(f(a,b,c)=3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)-(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₁₄₁ 類似重心の補点（中点三角形の類似重心） complement of the symmedian point (symmedian point of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=b^2+c^2\)

X₁₄₂ ミッテンプンクトの補点（ジェルゴンヌ点とミッテンプンクトの中点）（中点三角形のミッテンプンクト） complement of the mittenpunkt (midpoint of the Gergonne point and the mittenpunkt) (mittenpunkt of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=a(b+c)-(b-c)^2\)

X₁₄₃ 垂足三角形の九点円の中心 nine-point center of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2(a^2b^2+a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4)(a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-b^2c^2+c^4)\)

X₁₄₄ ジェルゴンヌ点の反補点 anticomplement of the Gergonne point

\(f(a,b,c)=3a^2-2a(b+c)-(b-c)^2\)

X₁₄₅ ナーゲル点の反補点 anticomplement of the Nagel point

\(f(a,b,c)=3a-b-c\)

X₁₅₄ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[3a^4-2a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₁₅₅ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[-a^6+3a^4(b^2+c^2)-a^2(3b^4-2b^2c^2+3c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)]\)

X₁₅₆ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^8-3a^6(b^2+c^2)+a^4(3b^4+2b^2c^2+3c^4)-a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)+b^2c^2(b^2-c^2)^2]\)

X₁₅₇ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^6-a^4(b^2+c^2)+a^2(b^4+c^4)-(b^2-c^2)^2(c^2+b^2)]\)

X₁₅₈ X₉₂のクローソン点交叉共役点 Clawson-point-cross conjugate of X₉₂

\(f(a,b,c)=bc(c^2+a^2-b^2)^2(a^2+b^2-c^2)^2\)

X₁₆₄ 傍心三角形の内心 incenter of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a\left(\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}-\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\right)\)

X₁₆₅ 傍心三角形の重心 centroid of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a(3a^2-2a(b+c)-(b-c)^2)\)

X₁₆₆ 傍心三角形のジェルゴンヌ点 Gergonne point of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a(g(b,c,a)+g(c,a,b)-g(a,b,c))\) ただし、 \(g(a,b,c)=\dfrac1{(b+c-a)\left(\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}\right)}\)

X₁₆₇ 傍心三角形のナーゲル点 Nagel point of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a(g(b,c,a)+g(c,a,b)-g(a,b,c))\) ただし、 \(g(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}}{b+c-a}\)

X₁₆₉ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^3-a^2(b+c)+a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)\)

X₁₇₁ 第一シャリギン点の等角共役点 isogonal conjugate of the first Sharygin point

\(f(a,b,c)=a(a^2+bc)\)

X₁₇₃ 合同二等辺化線点 congruent isoscelizers point

\(f(a,b,c)=a\left(\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}\right)\)

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}+(c+a-b)(a+b-c)\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\left(1+\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{2\sqrt{\dfrac{abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}-\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}}\)

X₁₇₄ イフ合同心 Yff center of congruence

\(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\)

X₁₇₇ 第一円弧中点点 first mid-arc point

\(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\left(\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}\right)\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{4bc}{(c+a-b)(a+b-c)}}\left(\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}+\sqrt{\dfrac{((a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\right)\)

X₁₇₈ 第二円弧中点点 second mid-arc point

\(f(a,b,c)=\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}+\sqrt{\dfrac{((a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\)

X₁₇₉ 第一安島マルファッティ点 first Ajima-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)^2}\)

X₁₈₁ アポロニウス点 Apollonius point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(b+c)^2(c+a-b)(a+b-c)\)

X₁₈₂ ブロカール直径の中点（ブロカール円の中心）（外心と類似重心の中点） midpoint of the Brocard diameter (center of the Brocard circle) (midpoint of the circumcenter and the symmedian point)

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b^2+c^2-a^2)+2b^2c^2]\)

X₁₈₄ X₁₂₅のブロカール円についての反転（外心と類似重心の交叉点） inverse of X₁₂₅ in the Brocard circle (crosspoint of the circumcenter and the symmedian point)

\(f(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)\)

X₁₈₆ 垂心の外接円に関する反転 inverse of the orthocenter in the circumcircle

\(f(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X₁₈₇ シャウテ心（類似重心の外接円に関する反転）（第一等力点と第二等力点の中点） Schoute center (inverse in the circumcircle of the symmedian point) (midpoint of the first isodynamic point and the second isodynamic point)

\(f(a,b,c)=a^2(2a^2-b^2-c^2)\)

X₁₈₈ 反中点三角形の第二円弧中点点（元の三角形とイフ合同心の外向三角形との配景の中心） second mid-arc point of the anticomplementary triangle (perspector of the reference triangle of the Yff center of congruence)

\(f(a,b,c)=\sqrt{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\)

X₁₉₀ イフ放物点 Yff parabolic point

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)\)

X₁₉₁ 内心のシュピーカー心チェバ共役点 Spieker-center-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(-a^3-a^2(b+c)+a(b^2+bc+c^2)+(b+c)(b^2+c^2))\)

X₁₉₂ 合同辺平行線点（重心の内心チェバ共役点） congruent parallelians point (incenter-Ceva conjugate of centroid)

\(f(a,b,c)=a(b+c)-bc\)

X₁₉₃ 重心の垂心チェバ共役点 orthocenter-Ceva conjugate of the centroid

\(f(a,b,c)=3a^2-b^2-c^2\)

X₁₉₄ 重心の類似重心チェバ共役点 symmedian-point--Ceva conjugate of the centroid

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-b^2c^2\)

X₂₀₀ ミッテンプンクトのナーゲル点チェバ共役点 Nagel-point-Ceva conjugate of the mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)^2\)

X₂₀₂ 第一等力点の内心チェバ共役点 incenter-Ceva conjugate of the first isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[4bc-(b^2+c^2-a^2)+4\sqrt{3}\Delta]\)

X₂₀₃ 第二等力点の内心チェバ共役点 incenter-Ceva conjugate of the second isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[4bc-(b^2+c^2-a^2)-4\sqrt{3}\Delta]\)

X₂₁₀ ナーゲル点とミッテンプンクトの交叉点 crosspoint of the Nagel point and the Mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c)(b+c-a)\)

X₂₁₂ X₄₁のミッテンプンクト・チェバ共役点（X₄₈の外心チェバ共役点） Mittenpunkt-Ceva conjugate of X₄₁ (circumcenter-Ceva conjugate of X₄₈)

\(f(a,b,c)=a^3(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₁₃ X₄₂の類似重心チェバ共役点 symmedian-point-Ceva conjugate of X₄₂

\(f(a,b,c)=a^3(b+c)\)

X₂₁₅ X₅₀の内心チェバ共役点 incenter-Ceva conjugate of X₅₀

\(f(a,b,c)=a^4(b+c-a)(b^2+c^2-a^2-bc)^2\)

X₂₁₆ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₂₁₈ X₅₅のジェルゴンヌ点チェバ共役点 Gergonne-point-Ceva conjugate of X₅₅

\(f(a,b,c)=a^2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac)\)

X₂₁₉ X₅₅のナーゲル点チェバ共役点 Nagel-point-Ceva conjugate of X₅₅

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₂₀ X₅₅のミッテンプンクト・チェバ共役点 mittenpunkt-Ceva conjugate of X₅₅

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)^2\)

X₂₂₁ X₅₆の内心チェバ共役点 incenter-Ceva conjugate of X₅₆

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2[a(b^2+c^2-a^2)-b(c^2+a^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)+2abc]}{b+c-a}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{4abc-a^2[(a+b+c)(c+a-b)(a+b-c)]}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(a+b)(a-b)^2]\)

X₂₂₂ X₅₆のジェルゴンヌ点チェバ共役点 Gergonne-point-Ceva conjugate of X₅₆

\(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

X₂₃₆ X₁₈₈の重心チェバ共役点 centroid-Ceva conjugate of X₁₈₈

\(f(a,b,c)=1+\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\)

X₂₃₈ 第二シャリギン点の等角共役点（元の三角形とX₁₇₁の外向三角形との配景の中心） isogonal conjugate of the second Sharygin point (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₁₇₁)

\(f(a,b,c)=a(a^2-bc)\)

X₂₅₃ ド・ロンシャン点の等距離共役点 isogonal conjugate of the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)-(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現1 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

別表現2 \(f(a,b,c)=[a^4+2a^2(b^2-c^2)-(3b^2+c^2)(b^2-c^2)][a^4-2a^2(b^2-c^2)+(b^2+3c^2)(b^2-c^2)]\)

X₂₅₅ X₁₈₈の等角共役点 isogonal conjugate of X₁₈₈

\(f(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₅₆ 第一シャリギン点 first Sharygin point

\(f(a,b,c)=a(ab+c^2)(ac+b^2)\)

別解

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{a^2+bc}\)

X₂₅₈ 合同内接円二等辺化線点（合同二等辺化線点の等角共役点） congruent incircles isoscelizer point (isogonal conjugate of the congruent isoscelizers point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}-(c+a-b)(a+b-c)\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\left(1-\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)\)

別解3 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{\dfrac{abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}-\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\right)\)

X₂₆₁ X₁₂の等距離共役点 isotomic conjugate of X₁₂

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{(b+c)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c-a)(c+a)^2(a+b)^2\)

X₂₆₄ 外心の等距離共役点 isotomic conjugate of the circumcenter

\(f(a,b,c)=b^2c^2(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)\)

別解 \(f(a,b,c)=\frac{(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)}{a^2}\)

X₂₆₉ X₂₀₀の等角共役点（元の三角形とX₂₀₀の外向三角形との配景の中心） isogonal conjugate of X₂₀₀ (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₂₀₀)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{(b+c-a)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a-b)^2(a+b-c)^2\)

X₂₇₃ X₂₁₂の等角共役点（X₇₈の等距離共役点） isogonal conjugate of X₂₁₂ (isotomic conjugate of X₇₈)

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₇₄ X₂₁₃の等角共役点 (X₃₇の等距離共役点) isogonal conjugate of X₂₁₃ (isotomic conjugate of X₃₇)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(a+b)(a+c)\)

X₂₇₇ X₂₁₈の等角共役点 isogonal conjugate of X₂₁₈

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\)

X₂₇₈ X₂₁₉の等角共役点 isogonal conjugate of X₂₁₉

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₇₉ X₂₂₀の等角共役点 isogonal conjugate of X₂₂₀

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{(b+c-a)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a-b)^2(a+b-c)^2\)

X₂₈₆ X₇₂の等距離共役点 isotomic conjugate of X₇₂

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{a(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₉₁ 第二シャリギン点（元の三角形と第一シャリギン点の外向三角形との配景の中心） second Sharygin point (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the first Sharygin point)

\(f(a,b,c)=a(ab-c^2)(ac-b^2)\)

X₂₉₈ 第一等角心の等距離共役点 isotomic conjugate of the first isogonic center

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₂₉₉ 第二等角心の等距離共役点 isotomic conjugate of the second isogonic center

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₀₀ 第一等力点の等距離共役点 isotomic conjugate of the first isodynamic point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta]\)、 \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{g(b,c,a)g(c,a,b)}{a^2}\) ただし、 \(g(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta\)、 \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解2 \(f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\Delta-\dfrac{2(b^2-c^2)^2}{a^2}\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₀₁ 第二等力点の等距離共役点 isotomic conjugate of the second isodynamic point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta]\)、 \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{g(b,c,a)g(c,a,b)}{a^2}\) ただし、 \(g(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta\)、 \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解2 \(f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta-\dfrac{2(b^2-c^2)^2}{a^2}\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₀₂ 第一ナポレオン点の等距離共役点 isotomic conjugate of the first Napoleon point

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2+4\sqrt{3}\Delta\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₀₃ 第二ナポレオン点の等距離共役点 isotomic conjugate of the second Napoleon point

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2-4\sqrt{3}\Delta\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₀₄ クローソン点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Clawson point

\(f(a,b,c)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₀₅ X₂₅の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₅

\(f(a,b,c)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₀₆ X₂₇の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₇

\(f(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₀₇ X₂₉の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₉

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c)(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₀₈ ブロカール中点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Brocard midpoint

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b^2+c^2)}\)

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)\)

X₃₀₉ ベバン点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Bevan point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a\left(\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\right)\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2]\)

X₃₁₀ X₄₂の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₂

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c)\)

X₃₁₁ コスニタ点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Kosnita point

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-\dfrac{(b^2-c^2)^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₃₁₂ X₅₇の等距離共役点（元の三角形とX₈₅の外向三角形との配景の中心） isotomic conjugate of X₅₇ (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₈₅)

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b+c-a)\)

X₃₁₃ X₅₈の等距離共役点 isotomic conjugate of X₅₈

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b+c)\)

X₃₁₄ X₆₅の等距離共役点 isotomic conjugate of X₆₅

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{a(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(a+b)(a+c)(b+c-a)\)

X₃₁₅ X₆₆の等距離共役点 isotomic conjugate of X₆₆

\(f(a,b,c)=b^4+c^4-a^4\)

X₃₁₆ ドルッサン要[かなめ] （X₆₇の等距離共役点） Droussent pivot (isotomic conjugate of X₆₇)

\(f(a,b,c)=b^4+c^4-a^4-b^2c^2\)

X₃₁₉ X₇₉の等距離共役点 isotomic conjugate of X₇₉

\(f(a,b,c)=a^2-b^2-bc-c^2\)

X₃₂₀ X₈₀の等距離共役点 isotomic conjugate of X₈₀

\(f(a,b,c)=a^2-b^2+bc-c^2\)

X₃₃₁ X₂₁₉の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₁₉

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{a^2(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₄₄ X₂₇₇の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₇₇

\(f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\)

X₃₄₅ X₂₇₈の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₇₈

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₄₆ X₂₇₉の等距離共役点（第一安島マルファッティ点とイフ・マルファッティ点の重心座標積） isotomic conjugate of X₂₇₉ (barycentric product of the first Ajima-Malfatti point and the Yff-Malfatti point)

\(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\)

X₃₅₄ ヴァイル点（ジェルゴンヌ三角形の重心） Weill point (centroid of the Gergonne triangle)

\(f(a,b,c)=a[a(b+c)-(b-c)^2]\)

X₃₅₅ フールマン心 Fuhrmann center

\(f(a,b,c)=a^4-a^3(b+c)+2a^2bc+a(b+c)(b-c)^2-(b+c)^2(b-c)^2\)

X₃₅₆ 第一モーリー三角形の中心 center of the first Morley triangle

\(f(a,b,c)=a\left(\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X₃₅₇ 第一モーリー・テーラー・マール心（第一モーリー三角形と元の三角形の配景の中心）（第二モーリー・テーラー・マール心の等角共役点） first Morley-Tailor-Marr center (perspector of the first Morley triangle and the reference triangle) (isogonal conjugate of the second Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X₃₅₈ 第二モーリー・テーラー・マール心（第一モーリー付属三角形と元の三角形の配景の中心）（第一モーリー三角形と第二モーリー三角形の配景の中心）（第一モーリー・テーラー・マール心の等角共役点） second Morley-Tailor-Marr center (perspector of the first adjunct Morley triangle and the reference triangle) (perspector of the first adjunct Morley triangle and the second Morley triangle) (isogonal conjugate of the first Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X₃₆₅ 三線平方根点 trilinear square root point

\(f(a,b,c)=a^{3/2}\)

X₃₆₆ 三線平方根点の等角共役点 isogonal conjugate of the trilinear square root point

\(f(a,b,c)=a^{1/2}\)

X₃₇₁ 剣持点（合同正方形点） Kenmochi point (congruent squares point)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+4\Delta)\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₇₃ 重心の垂足三角形の重心 centroid of the pedal triangle of the centroid

\(f(a,b,c)=a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4+6b^2c^2-c^4)\)

X₃₇₂ 剣持点の外心類似重心調和共役点 circumcenter-symmedian-point-harmonic conjugate of the Kenmochi point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-4\Delta)\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₇₅ シュピーカー心の垂足三角形の重心 centroid of the pedal triangle of the Spieker center

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-abc(b+c)-(b+c)^2(b^2-3bc+c^2)\)

X₃₇₆ 重心の反垂足三角形の重心 centroid of the antipedal triangle of the centroid

\(f(a,b,c)=5a^4-4a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X₃₈₁ 重心と垂心の中点 midpoint of the centroid and the orthocenter

\(f(a,b,c)=a^4+a^2(b^2+c^2)-2(b^2-c^2)^2\)

X₃₉₀ ジェルゴンヌ点の内心についての鏡映 reflection of the Gergonne point in the incenter

\(f(a,b,c)=(b+c-a)[3a^2+(b-c)^2]\)

X₃₉₅ 第二等角心と第二等力点の中点 midpoint of the second isogonic center and the second isodynamic point

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}a^2-4\Delta\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₃₉₆ 第一等角心と第一等力点の中点 midpoint of the first isogonic center and the first isodynamic point

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}a^2+4\Delta\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₄₀₀ イフ・マルファッティ点 Yff-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)^2}\)

X₄₈₃ マルファッティ円の根心（マルファッチ三角形の内心） radical center of the Malfatti circles (incenter of the Malfatti triangle)

\(f(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{a}}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a\vphantom{f}}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{2bc+\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\sqrt{bc\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}}\)

別解2 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a}\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}\)

別解4 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\left(1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X₅₀₀ 内心三角形の垂心 orthocenter of the incentral triangle

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)(a^2(b+c)+2abc-(b-c)^2(b+c))\)

X₅₁₁ 直線X₃X₆と無限遠直線の交点（タリー点の等角共役点） intersection of the line X₃X₆ and the line at infinity (isogonal conjugate of the Tarry point)

\(f(a,b,c)=a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4)\)

X₅₁₂ シュタイナー点の等角共役点 isogonal conjugate of the Steiner point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2-c^2)\)

X₅₁₃ フォイエルバッハ点の反補点の等角共役点 isogonal conjugate of the anticomplement of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=a(b-c)\)

X₅₁₄ イフ放物線の焦点の等角共役点 isogonal conjugate of the focus of the Yff Parabola

\(f(a,b,c)=b-c\)

X₅₁₉ 直線X₁X₂と無限遠直線の交点 intersection of the line X₁X₂ and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a-b-c\)

X₅₂₇ 直線X₂X₇と無限遠直線の交点 intersection of the line X₂X₇ and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^2-a(b+c)-(b-c)^2\)

X₅₂₈ 直線X₂X₁₁と無限遠直線の交点 intersection of the line X₂X₁₁ and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^3-2a^2(b+c)+a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)\)

X₅₂₉ 直線X₂X₁₂と無限遠直線の交点 intersection of the line X₂X₁₂ and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2-4bc+c^2)-2abc(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2\)

X₅₃₄ 直線X₂X₁₉と無限遠直線の交点 intersection of the line X₂X₁₉ and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^5+a^4(b+c)-2a^2bc(b+c)-2a(b-c)^2(b+c)^2-(b-c)^2(b+c)(b^2+c^2)\)

X₅₃₅ 直線X₂X₃₆と無限遠直線の交点 intersection of the line X₂X₃₆ and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^4-a^2(b-c)^2-abc(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2\)

X₅₄₆ 垂心と九点円の中心の中点 midpoint of the orthocenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4+a^2(b^2+c^2)-3(b^2-c^2)^2\)

X₅₄₇ 重心と九点円の中心の中点 midpoint of the centroid and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4-7a^2(b^2+c^2)+5(b^2-c^2)^2\)

X₅₄₈ 九点円の中心とド・ロンシャン点の中点 midpoint of the nine-point center and the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-6a^4+5a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X₅₄₉ 重心と外心の中点 midpoint of the centroid and the circumcenter

\(f(a,b,c)=4a^4-5a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X₅₅₀ 外心とド・ロンシャン点の中点 midpoint of the circumcenter and the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-4a^4+3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X₅₅₁ 内心と重心の中点 midpoint of the incenter and the centroid

\(f(a,b,c)=4a+b+c\)

X₅₆₀ 三線四乗点 trilinear fourth power point

\(f(a,b,c)=a^5\)

X₅₆₁ 三線四乗点の等角共役点（三線二乗点の等距離共役点） isogonal conjugate of the trilinear fourth power point (isotomic conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^3}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^3c^3\)

X₅₉₇ 重心と類似重心の中点 midpoint of the centroid and the symmedian point

\(f(a,b,c)=4a^2+b^2+c^2\)

X₅₉₈ X₅₉₉の等距離共役点 isotomic conjugate of X₅₉₉

\(f(a,b,c)=(2a^2-b^2+2c^2)(2a^2+2b^2-c^2)\)

X₅₉₉ 類似重心の重心に関する鏡映 reflection of the symmedian point in the centroid

\(f(a,b,c)=a^2-2b^2-2c^2\)

X₆₀₄ 元の三角形とX₄₁の外向三角形との配景の中心 perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₄₁

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^3}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^3(c+a-b)(a+b-c)\)

X₇₂₆ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2)-bc(b+c)\)

X₇₂₇ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b-c)-ac^2+bc^2][a^2(b-c)+ab^2-b^2c]\)

X₉₄₂ ジェルゴンヌ三角形の九点円の中心 nine-point center of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a[a^2(b+c)+2abc-(b-c)^2(b+c)]\)

X₉₄₃ ジェルゴンヌ三角形の九点円の中心の等角共役点 isogonal conjugate of the nine-point center of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a[a^3-a^2c-a(b+c)^2-c(b-c)(b+c)][a^3-a^2b-a(b+c)^2+b(b-c)(b+c)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c)+2abc-(b-c)^2(b+c)\)

X₉₄₆ 内心と垂心の中点 midpoint of the incenter and the orthocenter

\(f(a,b,c)=a^3(b+c)+(b-c)^2[a^2-a(b+c)-(b+c)^2]\)

X₁₀₀₁ 内心とミッテンプンクトの中点 midpoint of the incenter and mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a[a^2-a(b+c)-2bc]\)

X₁₀₀₂ X₁₀₀₁の等角共役点 isogonal conjugate of X₁₀₀₁

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{a^2-a(b+c)-2bc}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2-a(b+c)-2bc\)

別解の別表現 \(f(a,b,c)=a[a(b+2c)-b(b-c)][a(2b+c)+b(b-c)]\)

X₁₁₂₅ シュピーカー心の補点（内心とシュピーカー心の中点） complement of the Spieker center (midpoint of the incenter and the Spieker center)

\(f(a,b,c)=2a+b+c\)

X₁₁₃₄ 第三モーリー・テーラー・マール心（第三モーリー三角形と元の三角形の配景の中心）（第四モーリー・テーラー・マール心の等角共役点） third Morley-Tailor-Marr center (perspector of the third Morley triangle and the reference triangle) (isogonal conjugate of the fourth Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

X₁₁₃₅ 第四モーリー・テーラー・マール心（第三モーリー付属三角形と元の三角形の配景の中心）（第三モーリー三角形と第一モーリー三角形の配景の中心）（第三モーリー・テーラー・マール心の等角共役点） fourth Morley-Tailor-Marr center (perspector of the third adjunct Morley triangle and the reference triangle) (perspector of the third adjunct Morley triangle and the first Morley triangle) (isogonal conjugate of the third Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

X₁₁₃₆ 第五モーリー・テーラー・マール心（第二モーリー三角形と元の三角形の配景の中心）（第六モーリー・テーラー・マール心の等角共役点） fifth Morley-Tailor-Marr center (perspector of the second Morley triangle and the reference triangle) (isogonal conjugate of the sixth Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1/2 \le x \le -1/2\)

X₁₁₃₇ 第六モーリー・テーラー・マール心（第二モーリー付属三角形と元の三角形の配景の中心）（第二モーリー三角形と第三モーリー三角形の配景の中心）（第五モーリー・テーラー・マール心の等角共役点） sixth Morley-Tailor-Marr center (perspector of the second adjunct Morley triangle and the reference triangle) (perspector of the second adjunct Morley triangle and the third Morley triangle) (isogonal conjugate of the fifth Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1/2 \le x \le -1/2\)

X₁₁₄₂ 第一マルファッティ・ラビノヴィッツ点 first Malfatti-Rabinowitz point

\(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{ca}+\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(2\sqrt{ab}+\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}-a\)

別表現1 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{\left(c^2+a^2-b^2+6ca+4\sqrt{ca(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(a^2+b^2-c^2+6ab+4\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}-a\)

別表現2 \(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{2\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}\right)\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\right)}{1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}-1\right)\)

X₁₁₄₃ 第二マルファッティ・ラビノヴィッツ点 second Malfatti-Rabinowitz point

\(f(a,b,c)=\sqrt{b+c-a}\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{(b+c-a)\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{b+c-a}{2a}}\left(1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X₁₂₇₄ 第二マルファッティ・ラビノヴィッツ点の等距離共役点（外第二マルファッティ・ラビノヴィッツ点） isotomic conjugate of the second Malfatti-Rabinowitz point (external second Malfatti-Rabinowitz point)

\(f(a,b,c)=\sqrt{b+c-a}\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{(b+c-a)\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{b+c-a}{2a}}\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X₁₃₈₅ 内心と外心の中点 midpoint of the incenter and the circumcenter

\(f(a,b,c)=a[a(b^2+c^2-a^2)+(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a[-2a^3+a^2(b+c)+2a(b^2-bc+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X₁₃₈₆ 内心と類似重心の中点 midpoint of the incenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=a[a(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a[2a^2+a(b+c)+b^2+c^2]\)

X₁₃₈₇ 内心とフォイエルバッハ点の中点 midpoint of the incenter and the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=2a[abc-(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]+(b-c)^2(a+b+c)(b+c-a)\)

別表現 \(f(a,b,c)=2a^4-2a^3(b+c)-a^2(3b^2-8bc+3c^2)-2a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2\)

X₁₄₄₁ シフラー点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Schiffler point

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c}{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c)g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X₁₄₇₆ ジェルゴンヌ三角形のドロンシャン点の等角共役点 isogonal conjugate of the de Longchamps point of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a(a-b+c)(a+b-c)[a^2+a(b-2c)+c(b+c)][a^2-a(2b-c)+b(b+c)]\)

X₁₄₈₂ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^3-2a^2(b+c)-a(b^2-4bc+c^2)+2(b-c)^2(b+c)]\)

X₁₄₈₉ 第三ステヴァノヴィッチ点 third Stevanović point

\(f(a,b,c)=\sqrt{a}\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}-\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}\right)\)

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2bc-\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}-\sqrt{bc(a-b+c)(a+b-c)}\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}-\sqrt{\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}}\)

X₁₄₉₄ オイラー無限遠点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Euler infinity point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

別表現 \(f(a,b,c)=[a^4+a^2(b^2-2c^2)-(b^2-c^2)(2b^2+c^2)][a^4-a^2(2b^2-c^2)+(b^2-c^2)(b^2+2c^2)]\)

X₁₅₀₁ 三線五乗点 trilinear fifth power point

\(f(a,b,c)=a^6\)

X₁₅₀₂ 三線五乗点の等角共役点（三線三乗点の等距離共役点） isogonal conjugate of the trilinear fifth power point (isotomic conjugate of the trilinear third power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^4}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^4c^4\)

X₁₇₄₅ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^5(b+c)+a^4bc-2a^3(b+c)(b^2-bc+c^2)+a(b-c)^2(b+c)(b^2+c^2)-bc(b-c)^2(b+c)^2]\)

X₁₉₁₇ 三線六乗点 trilinear sixth power point

\(f(a,b,c)=a^7\)

X₁₉₂₈ 三線六乗点の等角共役点（三線四乗点の等距離共役点） isogonal conjugate of the trilinear fourth power point (isotomic conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^5}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^5c^5\)

X₁₉₆₂ 内心三角形の重心 centroid of the incentral triangle

\(f(a,b,c)=a(b+c)(2a+b+c)\)

X₁₉₆₉ X₄₈の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₈

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{a^3}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₂₆₂ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^3(b+c)+a^2(b-c)^2-a(b-c)^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2]\)

X₂₅₅₀ シュピーカー円と円(X₄,2R)の内相似中心（ジェルゴンヌ点とナーゲル点の中点） insimilicenter of the Spieker circle and the circle(X₄,2R) (midpoint of the Gergonne point and the Nagel point)

\(f(a,b,c)=b+c+\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{4abc}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^3-a^2(b+c)+a(b+c)^2-(b-c)^2(b+c)\)

X₃₀₅₇ ジェルゴンヌ三角形のドロンシャン点 de Longchamps point of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)[a(b+c)-(b-c)^2]\)

X₃₀₈₂ 外マルファッティ円の根心 radical center of the external Malfatti circles

\(f(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{a}}{2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a\vphantom{f}}{b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{2bc-\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\sqrt{bc\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}}\)

別解2 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a}\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}\)

別解4 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X₃₁₁₂ X₃₈の等距離共役点 isotomic conjugate of X₃₈

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b^2+c^2)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b^2+c^2)\)

X₃₂₄₁ 重心の内心に関する鏡映（ナーゲル点の重心に関する鏡映） reflection of the centroid in the incenter (reflection of the Nagel point in the centroid)

\(f(a,b,c)=5a-b-c\)

X₃₁₄₆ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=5a^4-2a^2(b^2+c^2)-3(b^2-c^2)^2\)

X₃₁₅₇ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X₃₁₆₄ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=-a^6(b^2+c^2)+a^4(2b^4-b^2c^2+2c^4)-a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+b^2c^2(b^2-c^2)^2\)

X₃₁₆₇ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)(b^2+c^2-3a^2)\)

X₃₆₇₉ 内心の重心に関する鏡映（内心とナーゲル点の中点） reflection of the incenter in the centroid (midpoint of the incenter and the Nagel point)

\(f(a,b,c)=a-2(b+c)\)

X₃₂₆₀ X₇₄の等距離共役点 isotomic conjugate of X₇₄

\(f(a,b,c)=\dfrac{2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)\)

X₃₂₇₁ 元の三角形とアポロニウス点の外向三角形との配景の中心 perspector of the reference triangle and the Apollonius point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)(b+c)^2\)

X₃₂₇₂ 正三角形J₁J₂J₃の中心、ただし、J₁J₂J₃は元の三角形に内接し第一モーリー三角形にホモセティックな唯一の正三角形 center of the equilateral triangle J₁J₂J₃, where J₁J₂J₃ is the unique equilateral triangle inscribed in the reference triangle and homothetic to the first Morley triangle

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2}{2a^2bc}\right)\) ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X₃₂₇₆ 第二モーリー三角形の中心 center of the second Morley triangle

X₃₂₇₇ 第三モーリー三角形の中心 center of the third Morley triangle

X₃₃₆₃ 重心の垂足三角形の類似重心 symmedian point of the pedal triangle of the centroid

\(f(a,b,c)=4a^4+5a^2(b^2+c^2)-5b^4+14b^2c^2-5c^4\)

X₃₅₉₆ 第一オデーナル点 first Odehnal point

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b+c-a)\)

X₃₆₀₅ 第一モーリー三角形の中心の等角共役点 isogonal conjugate of the center of the first Morley triangle

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\) ただし、 \(\varphi(x)=u \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X₃₆₀₆ 第二モーリー三角形の中心の等角共役点 isogonal conjugate of the center of the second Morley triangle

X₃₆₀₇ 第三モーリー三角形の中心の等角共役点 isogonal conjugate of the center of the third Morley triangle

X₃₆₂₆ ナーゲル点とシュピーカー心の中点 midpoint of the Nagel point and the Spieker center

\(f(a,b,c)=3b+3c-2a\)

X₃₆₇₉ 重心とナーゲル点の中点 midpoint of the centroid and the Nagel point

\(f(a,b,c)=2b+2c-a\)

X₃₇₁₈ X₃₄の等距離共役点 isotomic conjugate of X₃₄

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X₃₈₂₈ 重心とシュピーカー心の中点 midpoint of the centroid and the Spieker center

\(f(a,b,c)=2a+5b+5c\)

X₄₉₉₈ フォイエルバッハ点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c-a)^2(a-b)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b-c)^2(b+c-a)\)

X₅₄₈₀ 垂心と類似重心の中点 midpoint of the orthocenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=3a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^2-c^2)^2-(b^2+c^2)(b^2-c^2)^2\)

X₅₅₄₂ 内心とジェルゴンヌ点の中点 midpoint of the incenter and the Gergonne point

\(f(a,b,c)=3a^2(b+c)-2a(b-c)^2-(b+c)(b-c)^2\)

X₅₅₇₀ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^5(b+c)-a^4(b^2+c^2)-2a^3(b+c)(b^2-bc+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^2-bc+c^2)+a(b-c)^2(b+c)(b^2+c^2)-(b-c)^4(b+c)^2]\)

X₅₈₀₅ 垂心とジェルゴンヌ点の中点 midpoint of the orthocenter and the Gergonne point

\(f(a,b,c)=a^6-a^5(b+c)-a^4(b^2+c^2)+a^2(b-c)^2(b^2+c^2)+a(b-c)^2(b+c)^3-(b-c)^4(b+c)^2\)

X₅₉₀₁ 内心と九点円の中心の中点 midpoint of the incenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4-2a^3(b+c)-a^2(3b^2-4bc+3c^2)+2a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2\)

X₆₀₆₃ X₅₅の等距離共役点 isotomic conjugate of X₅₅

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(c+a-b)(a+b-c)\)

X₆₁₇₃ 重心とジェルゴンヌ点の中点 midpoint of the centroid and the Gergonne point

\(f(a,b,c)=a^2+a(b+c)-2(b-c)^2\)

X₆₃₈₁ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=bc(a(b+c)-2bc)\)

X₆₃₈₄ X₄₃の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₃

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(ab+ac-bc)\)

X₇₀₀₁ 元の三角形と合同二等辺化線点の外向三角形との配景の中心 perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the congruent isoscelizers point

\(f(a,b,c)=a\left(\sqrt{1+\dfrac{2\Delta}{ab}}+\sqrt{1+\dfrac{2\Delta}{ac}}-\sqrt{1+\dfrac{2\Delta}{ab}}-1\right)\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}+(a+b+c)(b+c-a)\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\sqrt{1-\dfrac{2\Delta}{ab}}+\sqrt{1-\dfrac{2\Delta}{ac}}-\sqrt{1-\dfrac{2\Delta}{bc}}+1}\) ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X₇₀₀₂ 元の三角形と第一安島マルファッチ点の外向三角形との配景の中心 perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the first Ajima-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2-b^2-c^2+6bc+4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}{(b+c-a)^2}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{a^2-b^2-c^2+6bc-4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}{(b+c-a)^2}\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1+\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)^2}\)

X₇₀₂₂ 元の三角形とイフ・マルファッチ点の外向三角形との配景の中心 perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the Yff-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2-b^2-c^2+6bc-4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}{(b+c-a)^2}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{a^2-b^2-c^2+6bc+4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}{(b+c-a)^2}\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1-\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)^2}\)

X₇₁₈₂ X₃₃の等距離共役点（元の三角形とX₃₇₁₈の外向三角形との配景の中心） isotomic conjugate of X₃₃ (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X₃₇₁₈)

\(f(a,b,c)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X₇₉₉₁ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a(a^3+3a^2(b+c)-a(b^2+6bc+c^2)-3(b+c)(b-c)^2)\)

X₈₁₄₃ 内心三角形の外心 circumcenter of the incentral triangle

\(f(a,b,c)=a(a^5(b+c)+a^4(b^2+c^2)-a^3(b+c)(2b^2+bc+2c^2)-2a^2(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)+a(b-c)^2(b+c)(b^2+3bc+c^2)+(b-c)^2(b+c)^4)\)

X₉₂₃₃ 三線七乗点（P₁₃とU₁₃の重心座標積） trilinear seventh power point (baricentric product of P₁₃ and U₁₃)

\(f(a,b,c)=a^8\)

X₉₂₄₁ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=7a^4-16a^2(b^2+c^2)+b^4+14b^2c^2+c^4\)

X₉₇₄₂ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=3a^8+12(b^2+c^2)a^6-2(13b^4+16b^2c^2+13c^4)a^4+4(b^2+c^2)(5b^4-4b^2c^2+5c^4)a^2-(b^2-c^2)^2(9(b^2+c^2)^2-16b^2c^2)\)

X₁₂₈₁₅ 第一ナポレオン点と第二ナポレオン点の中点 midpoint of the first and second Napoleon points

\(f(a,b,c)=4a^4-6a^2(b^2+c^2)+5(b^2-c^2)^2\)

X₁₄₆₁₅ X₆₄の等距離共役点 isotomic conjugate of X₆₄

\(f(a,b,c)=\dfrac{-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2[-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2]\)

X₁₇₈₃₄ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^8-2a^4(3b^4+2b^2c^2+3c^4)+8a^2(b^6+c^6)-(3b^4+2b^2c^2+3c^4)(b^2-c^2)^2]\)

X₁₈₀₁₈ エクセター点の等距離共役点 isotomic conjugate of the Exeter point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4)\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{(c^4+a^4-b^4)(a^4+b^4-c^4)}{a^2}\)

X₁₈₀₁₉ 遥遠点（仮称）の等距離共役点 isotomic conjugate of the far-out point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4-b^2c^2)\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{(c^4+a^4-b^4-c^2a^2)(a^4+b^4-c^4-a^2b^2)}{a^2}\)

X₂₀₃₃₆ X₂₈の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₈

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X₂₀₅₆₃ X₂₄の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₄

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4]\)

別表現 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b^2+c^2-a^2)[a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2][a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2]\)

X₂₀₅₆₄ X₂₆の等距離共役点 isotomic conjugate of X₂₆

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[a^8-2a^6(b^2+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)]\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))]\)

X₂₀₅₆₅ X₃₅の等距離共役点 isotomic conjugate of X₃₅

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b^2+c^2-a^2+bc)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)\)

X₂₀₅₆₆ X₃₆の等距離共役点 isotomic conjugate of X₃₆

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-bc)\)

X₂₀₅₆₇ X₄₁の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₁

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^3(b+c-a)\)

X₂₀₅₆₈ X₄₄の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₄

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-2a)\)

X₂₀₅₆₉ X₄₅の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₅

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a(2b+2c-a)\)

X₂₀₅₇₀ X₄₆の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₆

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a[b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X₂₀₅₇₁ X₄₇の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₇

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^3[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2]\)

別表現 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^3[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4]\)

X₂₀₅₇₂ X₄₉の等距離共役点 isotomic conjugate of X₄₉

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X₂₀₅₇₃ X₅₀の等距離共役点 isotomic conjugate of X₅₀

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^4[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X₂₃₇₁₉ 外心のチェバ三角形の外心 circumcenter of the Cevian triangle of the circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(a^{18}(b^2+c^2)-2a^{16}(3b^4+5b^2c^2+3c^4)+a^{14}(b^2+c^2)(13b^4+17b^2c^2+13c^4)-a^{12}(7b^8+39b^6c^2+54b^4c^4+39b^2c^6+7c^8)-3a^{10}(b^2+c^2)(7b^8-17b^6c^2+4b^4c^4-17b^2c^6+7c^8)+a^8(b^2-c^2)^2(49b^8+57b^6c^2+66b^4c^4+57b^2c^6+49c^8)-7a^6(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)(7b^8-3b^6c^2+8b^4c^4-3b^2c^6+7c^8)+a^4(b^2-c^2)^4(27b^8+43b^6c^2+46b^4c^4+43b^2c^6+27c^8)-a^2(b^2-c^2)^6(b^2+c^2)(8b^4+11b^2c^2+8c^4)+(b^2-c^2)^6(b^8+b^6c^2-2b^4c^4+b^2c^6+c^8))\)

X₂₉₉₅₉ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)(a^4-b^4+4b^2c^2-c^4)\)

X₃₀₈₀₆ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=bc[2a^2-a(b+c)-(b-c)^2]\)

X₃₁₄₉₅ マルファッティ円の曲率重心（マルファッティ三角形のジェルゴンヌ点） centroid of curvatures of the Malfatti circles (Gergonne point of the Malfatti triangle)

\(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{ca}+\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(2\sqrt{ab}+\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}+a\)

別表現1 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{\left(c^2+a^2-b^2+6ca+4\sqrt{ca(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(a^2+b^2-c^2+6ab+4\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}+a\)

別表現2 \(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{2\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}\right)\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\right)}{1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}+1\right)\)

X₃₂₀₃₈ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(a+b-c)(a-b+c)(ab+2ac+b^2+bc)(2ab+ac+bc+c^2)\)

X₃₂₀₃₉ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(ab-ac-bc)^2(ab-ac+bc)^2\)

X₃₂₀₄₀ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(3a^2+2ab-2ac+3b^2-2bc-c^2)(3a^2-2ab+2ac-b^2-2bc+3c^2)\)

X₃₂₀₄₁ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(ab+2ac-b^2+bc)(2ab+ac+bc-c^2)\)

X₃₂₀₄₂ （名称検討中） (name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(2a+2b+c)(2a+b+2c)\)

X₃₂₀₇₈ 外心のチェバ三角形の重心 centroid of the Cevian triangle of the circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[2a^4-3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X₃₂₁₆₇ 内心のチェバ三角形の九点円の中心 nine-point center of the Cevian triangle of the incenter

\(f(a,b,c)=a[3a^5(b+c)+a^4(b^2+4bc+c^2)-a^3(b+c)(6b^2-bc+6c^2)-2a^2(b^4+3b^3c+3b^2c^2+3bc^3+c^4)+a(b-c)^2(b+c)(3b^2+5bc+3c^2)+(b-c)^2(b+c)^4]\)

X₄₀₂₉₇ 冪曲線の内心での接線上の無限遠点 infinite point on the line tangent to the power curve at the incenter

\(f(a,b,c)=ab(\log a - \log b) + ac(\log a - \log c)\)

X₄₀₂₉₈ 冪曲線の重心での接線上の無限遠点 infinite point on the line tangent to the power curve at the centroid

\(f(a,b,c)=2\log a - \log b - \log c\)

X₄₀₂₉₉ 冪曲線の類似重心での接線上の無限遠点 infinite point on the line tangent to the power curve at the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2b^2(\log a - \log b) + a^2c^2(\log a - \log c)\)

X₄₀₃₀₀ 冪曲線の内心での接線の三線極点 trilinear pole of the line tangent to the power curve at the incenter

\(f(a,b,c)=a(\log a - \log b)(\log a - \log c)\)

X₄₀₃₀₁ 冪曲線の重心での接線の三線極点 trilinear pole of the line tangent to the power curve at the centroid

\(f(a,b,c)=(\log a - \log b)(\log a - \log c)\)

X₄₀₃₀₂ 冪曲線の類似重心での接線の三線極点 trilinear pole of the line tangent to the power curve at the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2(\log a - \log b)(\log a - \log c)\)

X₄₀₃₀₃ X₄₀₂₉₇の等角共役点 isogonal conjugate of X₄₀₂₉₇

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=ab(\log a - \log b) + ac(\log a - \log c)\)

X₄₀₃₀₄ X₄₀₂₉₈の等角共役点 isogonal conjugate of X₄₀₂₉₈

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=2\log a - \log b - \log c\)

X₄₀₃₀₅ X₄₀₂₉₉の等角共役点 isogonal conjugate of X₄₀₂₉₉

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2b^2(\log a - \log b) + a^2c^2(\log a - \log c)\)

三角形の心 三角形の心

定義 定義

例 例