三角形の心

定義

ユークリッド平面上に三角形 \(ABC\) を固定する。平面上の点 \(X\) が実数の三つ組 \(\lambda,\mu,\nu\) を使って位置ベクトルに関して \((\lambda+\mu+\nu)X = \lambda A + \mu B + \nu C\) と表せるとき、\(X=\lambda:\mu:\nu\) と書く。

成分で書き下すと、 \[ A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B),\qquad C=(x_C,y_C),\qquad X=\lambda:\mu:\nu \] のとき \[ X= \left( \frac{\lambda x_A + \mu x_B + \nu x_C}{\lambda + \mu + \nu}, \frac{\lambda y_A + \mu y_B + \nu y_C}{\lambda + \mu + \nu} \right) \] である。

三変数実数値関数 \(f\) は以下の条件をみたすとする。

慣習に従って \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) と書いたとき、そのような \(f\) を使って \(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\) と書ける点を、三角形の(しん)と呼ぶ。

X1
内心
incenter

\(f(a,b,c)=a\)

X2
重心
centroid

\(f(a,b,c)=1\)

X3
外心
circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)\)

X4
垂心
orthocenter

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X5
九点円の中心(外心と垂心の中点)
nine-point center (midpoint of the circumcenter and the orthocenter)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X6
類似重心(ルモワーヌ点、グレーベ点)
symmedian point (Lemoine point, Grebe point)

\(f(a,b,c)=a^2\)

X7
ジェルゴンヌ点
Gergonne point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b+c-a}\)

X8
ナーゲル点
Nagel point

\(f(a,b,c)=b+c-a\)

X9
ミッテンプンクト
Mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X10
シュピーカー心(内心とナーゲル点の中点)
Spieker center (midpoint of the incenter and the Nagel point)

\(f(a,b,c)=b+c\)

X11
フォイエルバッハ点
Feuerbach point

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2\)

X12
内心と九点円の中心に関するフォイエルバッハ点の調和共役点
harmonic conjugate of the Feuerbach point with respect to the incenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)^2}{b+c-a}\)

X13
第一等角心(第一フェルマー点、フェルマー点、トリチェリ点)
first isogonic center (first Fermat point, Fermat point, Torricelli point)

\(f(a,b,c)=[\sqrt{3}(c^2+a^2-b^2)+4\Delta][\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)+4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

\(f_1(a,b,c)=a^4+a^2(b^2+c^2+4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X14
第二等角心(第二フェルマー点)
second isogonic center (second Fermat point)

\(f(a,b,c)=[\sqrt{3}(c^2+a^2-b^2)-4\Delta][\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)-4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

\(f_1(a,b,c)=a^4+a^2(b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X15
第一等力点
first isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X16
第二等力点
second isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X17
第一ナポレオン点
first Napoleon point

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2+4\sqrt{3}\Delta)(a^2+b^2-c^2+4\sqrt{3}\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

\(f_1(a,b,c)=-a^4+a^2(3(b^2+c^2)+4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X18
第二ナポレオン点
second Napoleon point

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2-4\sqrt{3}\Delta)(a^2+b^2-c^2-4\sqrt{3}\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

\(f_1(a,b,c)=-a^4+a^2(3(b^2+c^2)-4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X19
クローソン点
Clawson point

\(f(a,b,c)=a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X20
ド・ロンシャン点
de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X21
シフラー点
Schiffler point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b+c-a)}{b+c}\)

X22
エクセター点
Exeter point

\(f(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4)\)

X23
遥遠点(仮称)
far-out point

\(f(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4-b^2c^2)\)

X24
元の三角形と垂足垂足三角形の透視点
perspector of the reference and orthic-of-orthic triangles

\(f(a,b,c)=a^2[2b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X25
垂足三角形と接線三角形の相似中心
homothetic center of the orthic and tangential triangles

\(f(a,b,c)=a^2(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X26
接線三角形の外心
circumcenter of the tangential triangle

\(f(a,b,c)=a^2[b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))]\)

X27
垂心とクローソン点のチェバ点
cevapoint of the orthocenter and the Clawson point

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

X28
クローソン点とX25のチェバ点
cevapoint of the Clawson point and X25

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

X29
内心と垂心のチェバ点
cevapoint of the incenter and the orthocenter

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c-a)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

X31
三線二乗点
trilinear second power point

\(f(a,b,c)=a^3\)

X32
三線三乗点
trilinear third power point

\(f(a,b,c)=a^4\)

X33
垂足三角形と内接線三角形の透視点
perspector of the orthic and intangents triangles

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X34
垂心の垂心ベート共役点
orthocenter-beth conjugate of the orthocenter

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

X35
X36の内心外心調和共役点
incenter-circumcenter-harmonic conjugate of X36

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)\)

X36
外接円に関する内心の反転
inverse-in-circumcircle of the incenter

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-bc)\)

X37
内心と重心の交叉点
crosspoint of the incenter and the centroid

\(f(a,b,c)=a(b+c)\)

X38
内心とX75の交叉点
crosspoint of the incenter and X75

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2)\)

X39
ブロカール中点
Brocard midpoint

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)\)

X40
ベバン点
Bevan point

\(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\right)\)

\(f_1(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2]\)

X41
三線二乗点の類似重心チェバ共役点
symmedian-point-Ceva conjugate of the trilinear second power point

\(f(a,b,c)=a^3(b+c-a)\)

X42
内心と類似重心の交叉点
crosspoint of the incenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2(b+c)\)

X43
内心の類似中心チェバ共役点
symmedian-point-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

\(f_1(a,b,c)=a(ab+ac-bc)\)

X44
内心の類似中心直線共役点
symmedian-point-line conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(b+c-2a)\)

X45
内心のミッテンプンクトベート共役点
Mittenpunkt-beth conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(2b+2c-a)\)

X46
内心の垂心チェバ共役点
orthocenter-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a[b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)]\)

X47
X34X110ベート共役点
X110-beth conjugate of X34

\(f(a,b,c)=a^3[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2]\)

X48
内心とX63の交叉点
crosspoint of the incenter and X63

\(f(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X49
正弦三倍角円の中心
center of the sine-triple angle center

\(f(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X50
X184X74チェバ共役点
X74-Ceva conjugate of X184

\(f(a,b,c)=a^4[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X51
垂足三角形の重心
centroid of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X52
垂足三角形の垂心
orthocenter of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X53
垂足三角形の類似重心
symmedian point of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X54
コスニタ点(九点円の中心の等角共役点)
Kosnita point (isogonal conjugate of the nine-point center)

\(f(a,b,c)=a^2[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2][c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]\)

X55
外接円と内接円の内部相似中心(ジェルゴンヌ点の等角共役点)
insimilicenter of the circumcenter and the incenter (isogonal conjugate of the Gergonne point)

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)\)

X56
外接円と内接円の外部相似中心(ナーゲル点の等角共役点)
exsimilicenter of the circumcenter and the incenter (isogonal conjugate of the Nagel point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2}{b+c-a}\)

X57
ミッテンプンクトの等角共役点
isogonal conjugate of the mittenpunkt

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c-a}\)

X58
シュピーカー心の等角共役点
isogonal conjugate of the Spieker center

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2}{b+c}\)

X59
フォイエルバッハ点の等角共役点
isogonal conjugate of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(c-a)^2(a-b)^2}{b+c-a}\)

X60
内心と九点円の中心に関するフォイエルバッハ点の調和共役点の等角共役点
isogonal conjugate of the harmonic conjugate of the Feuerbach point with respect to the incenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c-a)}{(b+c)^2}\)

X61
第一ナポレオン点の等角共役点
isogonal conjugate of the first Napoleon

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+4\sqrt{3}\Delta)\)

X62
第二ナポレオン点の等角共役点
isogonal conjugate of the second Napoleon

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-4\sqrt{3}\Delta)\)

X63
クローソン点の等角共役点
isogonal conjugate of the Clawson point

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2-a^2)\)

X64
ド・ロンシャン点の等角共役点
isogonal conjugate of the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=a^2[a^4+2a^2(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(3b^2+c^2)][a^4-2a^2(b^2-c^2)+(b^2-c^2)(b^2+3c^2)]\)

X65
ジェルゴンヌ三角形の垂心 (シフラー点の等角共役点)
orthocenter of the Gergonne triangle (isogonal conjugate of the Schiffler point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b+c)}{b+c-a}\)

X66
エクセター点の等角共役点
isogonal conjugate of the Exeter point

\(f(a,b,c)=(c^4+a^4-b^4)(a^4+b^4-c^4)\)

X67
遥遠点(仮称)の等角共役点
isogonal conjugate of the far-out point

\(f(a,b,c)=(c^4+a^4-b^4-c^2a^2)(a^4+b^4-c^4-a^2b^2)\)

X68
プラソロフ点(元の三角形と垂足垂足三角形の透視点の等角共役点)
Prasolov point (isogonal conjugate of the perspector of the reference and orthic-of-orthic triangles)

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)[2c^2a^2-(c^2+a^2-b^2)^2][2a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]\)

X69
反中点三角形の類似重心
symmedian point of the anticomplementary triangle

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2\)

X70
接線三角形の外心の等角共役点
isogonal conjugate of the circumcenter of the tangential triangle

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))\)

X71
垂心とクローソン点のチェバ点の等角共役点
isogonal conjugate of the cevapoint of the orthocenter and the Clawson point

\(f(a,b,c)=a^2(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X72
X28の等角共役点(シュピーカー心のナーゲル点チェバ共役点)
isogonal conjugate of X28 (Nagel-point-Ceva conjugate of the Spieker center)

\(f(a,b,c)=a(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X73
内心と外心の交叉点(内心と垂心のチェバ点の等距離共役点)
crosspoint of the incenter and the circumcenter (isotomic conjugate of the cevapoint of the incenter and the orthocenter)

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)}{b+c}\)

X74
オイラー無限遠点の等角共役点(第一等力点と第二等力点のチェバ点)
isogonal conjugate of the Euler infinity point (cevapoint of the first and second isonynamic points)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X75
内心の等距離共役点(三線二乗点の等角共役点)
isotomic conjugate of the incenter (isogonal conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a}\)

X76
第三ブロカール点(三線三乗点の等角共役点、類似重心の等距離共役点)
third Brocard point (isogonal conjugate of the trilinear third power point, isotomic conjugate of the symmedian point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2}\)

X77
垂足三角形と内接線三角形の透視点の等角共役点
isogonal conjugate of the perspector of the orthic and intangents triangles

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

X78
垂心の垂心ベート共役点の等角共役点
isogonal conjugate of the orthocenter-beth conjugate of the orthocenter

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X79
X35の等角共役点
isogonal conjugate of X35

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2+ca)(a^2+b^2-c^2+ab)\)

X80
内心のフォイエルバッハ点に関する鏡映(X36の等角共役点、内心のフールマン円についての反転)
reflection of the incenter in the Feuerbach point (isogonal conjugate of X36, inverse-in-Fuhrmann-circle of the incenter)

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2-ca)(a^2+b^2-c^2-ab)\)

X81
内心と類似重心のチェバ点(X37の等角共役点)
cevapoint of the incenter and the symmedian point (isogonal conjugate of X37

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}\)

X82
X38の等角共役点(内心と三線二乗点のチェバ点)
isogonal conjugate of X38 (cevapoint of the incenter and the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b^2+c^2}\)

X83
重心と類似重心のチェバ点(ブロカール中点の等角共役点)
cevapoint of the centroid and the symmedian point (isogonal conjugate of X39

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2}\)

X84
ベバン点の等角共役点
isogonal conjugate of the Bevan point

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、  \(g(a,b,c)=\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\)

\(f_1(a,b,c)=ag_1(b,c,a)g_1(c,a,b)\)  ただし、  \(g_1(a,b,c)=a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2\)

X85
ミッテンプンクトの等距離共役点(X41の等角共役点)
isotomic conjugate of the mittenpunkt (isogonal conjugate of X41)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b+c-a)}\)

X86
内心と重心のチェバ点(X42の等角共役点)
cevapoint of the incenter and the centroid (isogonal conjugate of X42)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b+c-a}\)

X87
内心の重心交叉共役点(X43の等角共役点)
centroid-cross conjugate of the incenter (isogonal conjugate of X43)

\(f(a,b,c)=a(bc+ba-ca)(ca+cb-ab)\)

X88
内心の類似中心直線共役点の等角共役点
isogonal conjugate of symmedian-point-line conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(c+a-2b)(a+b-2c)\)

X89
内心のミッテンプンクトベート共役点の等角共役点
isogonal conjugate of the mittenpunkt-beth conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(2c+2a-b)(2a+2b-c)\)

X90
内心の外心交叉共役点(X46の等角共役点)
circumcenter-cross conjugate of the incenter (isogonal conjugate of X46)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)\)

X91
X47の等角共役点
isogonal conjugate of X47

\(f(a,b,c)=bc[(c^2+a^2-b^2)^2-2c^2a^2][(a^2+b^2-c^2)^2-2a^2b^2]\)

X92
内心とクローソン点のチェバ点(X48の等角共役点、X63の等距離共役点)
cevapoint of the incenter and the Clawson point (isogonal conjugate of X48, isotomic conjugate of X63)

\(f(a,b,c)=bc(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X93
正弦三倍角円の中心の等角共役点
isogonal conjugate of the center of the sine-triple angle center

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X94
X50の等角共役点
isogonal conjugate of X50

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X95
重心と外心のチェバ点(X51の等角共役点、九点円の中心の等距離共役点)
cevapoint of the centroid and the circumcenter (isogonal conjugate of X51, isotomic conjugate of the nine-point center)

\(f(a,b,c)=[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2][c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]\)

X110
キーペルト放物線の焦点(シュタムラー双曲線の中心)
focus of the Kiepert parabola (center of the Stammler hyperbola)

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)\)

X115
キーペルト双曲線の中心(第一等角心と第二等角心の中点)
center of the Kiepert hyperbola (midpoint of the first and second isogonic points)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2\)

X125
ジェラベック双曲線の中心
center of the Jerabek hyperbola

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(b^2-c^2)^2\)

X140
外心と九点円の中心の中点(中点三角形の九点円の中心)
midpoint of the circumcenter and the nine-point center (nine-point center of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=2a^4-3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X142
ミッテンプンクトの補点(ジェルゴンヌ点とミッテンプンクトの中点)
complement of the mittenpunkt (midpoint of the Gergonne point and the mittenpunkt)

\(f(a,b,c)=a(b+c)-(b-c)^2\)

X179
第一安島マルファッチ点
first Ajima-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)})^2}\)

\(f(a,b,c)=u\) \(\Longleftrightarrow\) \((c+a-b)^2(a+b-c)^2u^2-2(b^2+c^2-a^2+6bc)u+1=0\) and \(0\lt u\lt \dfrac{4bc}{(c+a-b)^2(a+b-c)^2}\)

X182
ブロカール直径の中点(ブロカール円の中心、外心と類似重心の中点)
midpoint of the Brocard diameter (center of the Brocard circle, midpoint of the circumcenter and the symmedian point)

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b^2+c^2-a^2)+2b^2c^2]\)

X184
X125のブロカール円についての反転(外心と類似重心の交叉点)
inverse of X125 in the Brocard circle (crosspoint of the circumcenter and the symmedian point)

\(f(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)\)

X355
フールマン心
Fuhrmann center

\(f(a,b,c)=a^4-a^3(b+c)+2a^2bc+a(b+c)(b-c)^2-(b+c)^2(b-c)^2\)

X371
剣持点(合同正方形点)
Kenmochi point (congruent squares point)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+4\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X372
剣持点の外心類似重心調和共役点
circumcenter-symmedian-point-harmonic conjugate of the Kenmochi point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-4\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X381
重心と垂心の中点
midpoint of the centroid and the orthocenter

\(f(a,b,c)=a^4+a^2(b^2+c^2)-2(b^2-c^2)^2\)

X400
イフ・マルファッチ点
Yff-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)})^2}\)

\(f(a,b,c)=u\) \(\Longleftrightarrow\) \((c+a-b)^2(a+b-c)^2u^2-2(b^2+c^2-a^2+6bc)u+1=0\) and \(\dfrac{4bc}{(c+a-b)^2(a+b-c)^2}\lt u\lt \dfrac{16bc}{(c+a-b)^2(a+b-c)^2}\)

X483
安島マルファッチ円の根心
radical center of the Ajima-Malfatti circles

\(f(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{a}}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

\(f(a,b,c)=u\) \(\Longleftrightarrow\) \((c+a-b)^2(a+b-c)^2u^4-2a(b^2+c^2-a^2+6bc)u^2+a^2 = 0\) and \(0 \lt u\lt \dfrac{2\sqrt{abc}}{(c+a-b)(a+b-c)}\)

\(f_1(a,b,c)=\dfrac{1}{2bc+\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

\(f_1(a,b,c)=u\) \(\Longleftrightarrow\) \(b^2c^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2u^4-2bc(b^2+c^2-a^2+6bc)u^2+1 = 0\) and \(0 \lt u\lt \dfrac{2}{(c+a-b)(a+b-c)}\)

X546
垂心と九点円の中心の中点
midpoint of the orthocenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4+a^2(b^2+c^2)-3(b^2-c^2)^2\)

X547
重心と九点円の中心の中点
midpoint of the centroid and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4-7a^2(b^2+c^2)+5(b^2-c^2)^2\)

X548
九点円の中心とド・ロンシャン点の中点
midpoint of the nine-point center and the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-6a^4+5a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X549
重心と外心の中点
midpoint of the centroid and the circumcenter

\(f(a,b,c)=4a^4-5a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X550
外心とド・ロンシャン点の中点
midpoint of the circumcenter and the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-4a^4+3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X551
内心と重心の中点
midpoint of the incenter and the centroid

\(f(a,b,c)=4a+b+c\)

X560
三線四乗点
trilinear fourth power point

\(f(a,b,c)=a^5\)

X561
三線四乗点の等角共役点(三線二乗点の等距離共役点)
isogonal conjugate of the trilinear fourth power point (isotomic conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^3}\)

X597
重心と類似重心の中点
midpoint of the centroid and the symmedian point

\(f(a,b,c)=4a^2+b^2+c^2\)

X946
内心と垂心の中点
midpoint of the incenter and the orthocenter

\(f(a,b,c)=a^3(b+c)+(b-c)^2[a^2-a(b+c)-(b+c)^2]\)

X1001
内心とミッテンプンクトの中点
midpoint of the incenter and mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a[a^2-a(b+c)-2bc]\)

X1002
X1001の等角共役点
isogonal conjugate of X1001

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{a^2-a(b+c)-2bc}\)

X1134
第一マルファッチ・ラビノヴィッツ点
first Malfatti-Rabinowitz point

\(f(a,b,c)=a-\dfrac{(2\sqrt{ca}+\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)})(2\sqrt{ab}+\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)})}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

X1385
内心と外心の中点
midpoint of the incenter and the circumcenter

\(f(a,b,c)=a[a(b^2+c^2-a^2)+(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]\)

X1386
内心と類似重心の中点
midpoint of the incenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=a[a(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)]\)

X1501
三線五乗点
trilinear fifth power point

\(f(a,b,c)=a^6\)

X1917
三線六乗点
trilinear sixth power point

\(f(a,b,c)=a^7\)

X1928
三線六乗点の等角共役点(三線四乗点の等距離共役点)
isogonal conjugate of the trilinear fourth power point (isotomic conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^5}\)

X2550
シュピーカー円と円(X4,2R)の内相似中心(ジェルゴンヌ点とナーゲル点の中点)
insimilicenter of the Spieker circle and the circle (X4,2R) (midpoint of the Gergonne point and the Nagel point)

\(f(a,b,c)=b+c+\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{4abc}\)

\(f_1(a,b,c)=a^3-a^2(b+c)+a(b+c)^2-(b-c)^2(b+c)\)

X3082
外マルファッチ円の根心
radical center of the external Malfatti circles

\(f(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{a}}{2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

\(f(a,b,c)=u\) \(\Longleftrightarrow\) \((c+a-b)^2(a+b-c)^2u^4-2a(b^2+c^2-a^2+6bc)u^2+a^2 = 0\) and \(\dfrac{2\sqrt{abc}}{(c+a-b)(a+b-c)} \lt u\lt \dfrac{4\sqrt{abc}}{(c+a-b)(a+b-c)}\)

\(f_1(a,b,c)=\dfrac{1}{2bc-\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

\(f_1(a,b,c)=u\) \(\Longleftrightarrow\) \(b^2c^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2u^4-2bc(b^2+c^2-a^2+6bc)u^2+1 = 0\) and \(\dfrac{2}{(c+a-b)(a+b-c)} \lt u\lt \dfrac{4}{(c+a-b)(a+b-c)}\)

X3679
(重心とナーゲル点の中点)

\(f(a,b,c)=2b+2c-a\)

X9233
P13U13の重心座標積(三線七乗点)
baricentric product of P13 and U13 (trilinear seventh power point)

\(f(a,b,c)=a^8\)

X12815
第一ナポレオン点と第二ナポレオン点の中点
midpoint of the first and second Napoleon points

\(f(a,b,c)=4a^4-6a^2(b^2+c^2)+5(b^2-c^2)^2\)


初出:2015年3月7日 最終更新:2017年6月12日
著者:鴨浩靖