三角形の心

定義

ユークリッド平面上に三角形 \(ABC\) を固定する。点 \(X\) が実数の三つ組 \(\lambda,\mu,\nu\) を使って \(X=\lambda:\mu:\nu\) と書けることを、\(\lambda+\mu+\nu\ne0\) の場合と \(\lambda+\mu+\nu=0\) の場合に分けて、以下のように定義する。

\(\lambda+\mu+\nu\ne0\) の場合

位置ベクトルに関して \((\lambda+\mu+\nu)X = \lambda A + \mu B + \nu C\) と表せるとき、\(X=\lambda:\mu:\nu\) と書く。

成分で書き下すと、 \[ A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B),\qquad C=(x_C,y_C),\qquad X=\lambda:\mu:\nu \] のとき \[ X= \left( \frac{\lambda x_A + \mu x_B + \nu x_C}{\lambda + \mu + \nu}, \frac{\lambda y_A + \mu y_B + \nu y_C}{\lambda + \mu + \nu} \right) \] である。

\(\lambda+\mu+\nu=0\) の場合

位置ベクトルに関して \(\lambda A+\mu B+\nu C\) と書ける方向ベクトルをもつ平行線束の交点である無限遠点が\(X\)であるとき、\(X=\lambda:\mu:\nu\) と書く。

成分で書き下すと、 \[ A=(x_A,y_A),\qquad B=(x_B,y_B),\qquad C=(x_C,y_C),\qquad X=\lambda:\mu:\nu \] のとき、 方向ベクトル \((\lambda x_A + \mu x_B + \nu x_C,\,\lambda y_A + \mu y_B + \nu y_C)\)をもつ直線と無限遠直線の交点が\(X\)である。

射影平面の斉次座標を使うと、以上の二つの場合をまとめて記述できる。三頂点の斉次座標を \(A=(1:0:0)\), \(B=(0:1:0)\), \(C=(0:0:1)\) に正規化したとき、点\(X\)が実数の三つ組 \(\lambda,\mu,\nu\) を使って斉次座標で \((\lambda:\mu:\nu)\) と書けるならば、\(X=\lambda:\mu:\nu\) である。

三変数実数値関数 \(f\) は以下の条件をみたすとする。

慣習に従って \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) と書いたとき、そのような \(f\) を使って \(f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)\) と書ける点を、三角形の(しん)と呼ぶ。

366 心 登録済み。

名称についてはEncyclopedia of Triangle Centersを参考にしているが、まったく同一ではない。

X1
内心
incenter

\(f(a,b,c)=a\)

X2
重心
centroid

\(f(a,b,c)=1\)

X3
外心
circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)\)

X4
垂心
orthocenter

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X5
九点円の中心 (外心と垂心の中点)
nine-point center (midpoint of the circumcenter and the orthocenter)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X6
類似重心 (ルモワーヌ点) (グレーベ点)
symmedian point (Lemoine point) (Grebe point)

\(f(a,b,c)=a^2\)

X7
ジェルゴンヌ点
Gergonne point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a-b)(a+b-c)\)

X8
ナーゲル点
Nagel point

\(f(a,b,c)=b+c-a\)

X9
ミッテンプンクト
Mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X10
シュピーカー心 (内心とナーゲル点の中点) (中点三角形の内心) (傍接円の根心)
Spieker center (midpoint of the incenter and the Nagel point) (incenter of the medial triangle) (radical center of the excircles)

\(f(a,b,c)=b+c\)

X11
フォイエルバッハ点
Feuerbach point

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2\)

X12
元の三角形とフォイエルバッハ三角形の配景の中心
perspector of the reference triangle and the Feuerbach triangle

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a-b)(a+b-c)(b+c)^2\)

X13
第一等角心 (第一フェルマー点) (フェルマー点) (トリチェリ点)
first isogonic center (first Fermat point) (Fermat point) (Torricelli point)

\(f(a,b,c)=[\sqrt{3}(c^2+a^2-b^2)+4\Delta][\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)+4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=a^2(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X14
第二等角心 (第二フェルマー点)
second isogonic center (second Fermat point)

\(f(a,b,c)=[\sqrt{3}(c^2+a^2-b^2)-4\Delta][\sqrt{3}(a^2+b^2-c^2)-4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=a^2(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X15
第一等力点
first isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X16
第二等力点
second isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta]\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X17
第一ナポレオン点
first Napoleon point

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2+4\sqrt{3}\Delta)(a^2+b^2-c^2+4\sqrt{3}\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=-a^4+a^2(3(b^2+c^2)+4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X18
第二ナポレオン点
second Napoleon point

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2-4\sqrt{3}\Delta)(a^2+b^2-c^2-4\sqrt{3}\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解 \(f(a,b,c)=-a^4+a^2(3(b^2+c^2)-4\sqrt{3}\Delta)-2(b^2-c^2)^2\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X19
クローソン点
Clawson point

\(f(a,b,c)=a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X20
ド・ロンシャン点
de Longchamps point

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)-(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現 \(f(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X21
シフラー点
Schiffler point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b+c-a)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a)(a+b)(b+c-a)\)

X22
エクセター点
Exeter point

\(f(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4)\)

X23
遥遠点(仮称)
far-out point

\(f(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4-b^2c^2)\)

X24
元の三角形と垂足垂足三角形の配景の中心
perspector of the reference and orthic-of-orthic triangles

\(f(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現 \(f(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X25
垂足三角形と接線三角形の相似中心
homothetic center of the orthic and tangential triangles

\(f(a,b,c)=a^2(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X26
接線三角形の外心
circumcenter of the tangential triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^8-2a^6(b^2+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)]\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2[b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))]\)

X27
垂心とクローソン点のチェバ点
cevapoint of the orthocenter and the Clawson point

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X28
クローソン点とX25のチェバ点
cevapoint of the Clawson point and X25

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X29
内心と垂心のチェバ点
cevapoint of the incenter and the orthocenter

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c-a)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c-a)g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X30
オイラー無限遠点
Euler infinity point

\(f(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X31
三線二乗点
trilinear second power point

\(f(a,b,c)=a^3\)

X32
三線三乗点
trilinear third power point

\(f(a,b,c)=a^4\)

X33
垂足三角形と内接線三角形の配景の中心
perspector of the orthic triangle and the intangents triangle

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X34
垂心の垂心ベート共役点 (元の三角形とX33の外向三角形との配景の中心)
orthocenter-beth conjugate of the orthocenter (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X33)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X35
元の三角形と傍心三角形の外接円に関する反転との配景の中心 (X36の内心外心調和共役点)
perspector of the reference triangle and the inverse in the circumcircle of the excentral triangle (incenter-circumcenter-harmonic conjugate of X36

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)\)

X36
外接円に関する内心の反転 (元の三角形とX35の外向三角形との配景の中心)
inverse in the circumcircle of the incenter (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X35)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-bc)\)

X37
内心と重心の交叉点
crosspoint of the incenter and the centroid

\(f(a,b,c)=a(b+c)\)

X38
内心とX75の交叉点
crosspoint of the incenter and X75

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2)\)

X39
ブロカール中点
Brocard midpoint

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)\)

X40
ベバン点
Bevan point

\(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\right)\)

別解 \(f(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2]\)

X41
三線二乗点の類似重心チェバ共役点
symmedian-point-Ceva conjugate of the trilinear second power point

\(f(a,b,c)=a^3(b+c-a)\)

X42
内心と類似重心の交叉点
crosspoint of the incenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2(b+c)\)

X43
内心の類似重心チェバ共役点
symmedian-point-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

別解 \(f(a,b,c)=a(ab+ac-bc)\)

X44
内心の類似重心直線共役点
symmedian-point-line conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(b+c-2a)\)

X45
内心のミッテンプンクトベート共役点
Mittenpunkt-beth conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(2b+2c-a)\)

X46
内心の垂心チェバ共役点
orthocenter-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a[b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X47
X34X110ベート共役点
X110-beth conjugate of X34

\(f(a,b,c)=a^3[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a^3[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4]\)

X48
内心とX63の交叉点
crosspoint of the incenter and X63

\(f(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X49
正弦三倍角円の中心
center of the sine-triple angle center

\(f(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X50
X184X74チェバ共役点
X74-Ceva conjugate of X184

\(f(a,b,c)=a^4[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X51
垂足三角形の重心
centroid of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X52
垂足三角形の垂心
orthocenter of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X53
垂足三角形の類似重心
symmedian point of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X54
コスニタ点 (九点円の中心の等角共役点)
Kosnita point (isogonal conjugate of the nine-point center)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X55
外接円と内接円の内部相似中心 (ジェルゴンヌ点の等角共役点)
insimilicenter of the circumcenter and the incenter (isogonal conjugate of the Gergonne point)

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)\)

X56
外接円と内接円の外部相似中心 (ナーゲル点の等角共役点) (第一オデーナル点の等距離共役点)
exsimilicenter of the circumcenter and the incenter (isogonal conjugate of the Nagel point) (isotomic conjugate of the first Odehnal point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)\)

X57
ミッテンプンクトの等角共役点 (元の三角形とミッテンプンクトの外向三角形との配景の中心)
isogonal conjugate of the mittenpunkt (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the mittenpunkt)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a-b)(a+b-c)\)

X58
シュピーカー心の等角共役点
isogonal conjugate of the Spieker center

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a)(a+b)\)

X59
フォイエルバッハ点の等角共役点
isogonal conjugate of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(c-a)^2(a-b)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=(b-c)^2(b+c-a)\)

X60
X12の等角共役点
isogonal conjugate of X12

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c-a)}{(b+c)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a)^2(a+b)^2(b+c-a)\)

X61
第一ナポレオン点の等角共役点
isogonal conjugate of the first Napoleon point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+4\sqrt{3}\Delta)\)

X62
第二ナポレオン点の等角共役点
isogonal conjugate of the second Napoleon point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-4\sqrt{3}\Delta)\)

X63
クローソン点の等角共役点
isogonal conjugate of the Clawson point

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2-a^2)\)

X64
ド・ロンシャン点の等角共役点
isogonal conjugate of the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=a^2[a^4+2a^2(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(3b^2+c^2)][a^4-2a^2(b^2-c^2)+(b^2-c^2)(b^2+3c^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2]\)

X65
ジェルゴンヌ三角形の垂心 (シフラー点の等角共役点)
orthocenter of the Gergonne triangle (isogonal conjugate of the Schiffler point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b+c)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(b+c)(c+a-b)(a+b-c)\)

X66
エクセター点の等角共役点
isogonal conjugate of the Exeter point

\(f(a,b,c)=(c^4+a^4-b^4)(a^4+b^4-c^4)\)

X67
遥遠点(仮称)の等角共役点
isogonal conjugate of the far-out point

\(f(a,b,c)=(c^4+a^4-b^4-c^2a^2)(a^4+b^4-c^4-a^2b^2)\)

X68
プラソロフ点 (X24の等角共役点)
Prasolov point (isogonal conjugate of the perspector of X24)

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)[2c^2a^2-(c^2+a^2-b^2)^2][2a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]\)

X69
反中点三角形の類似重心 (X25の等角共役点) (垂心の等距離共役点)
symmedian point of the anticomplementary triangle (isogonal conjugate of X25) (isotomic conjugate of the orthocenter)

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2\)

X70
X26の等角共役点
isogonal conjugate of X26

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=a^8-2a^6(b^2+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))\)

X71
X27の等角共役点
isogonal conjugate of X27

\(f(a,b,c)=a^2(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X72
X28の等角共役点 (シュピーカー心のナーゲル点チェバ共役点)
isogonal conjugate of X28 (Nagel-point-Ceva conjugate of the Spieker center)

\(f(a,b,c)=a(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X73
X29の等角共役点 (内心と外心の交叉点)
isogonal conjugate of X29 (crosspoint of the incenter and the circumcenter)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(b+c)(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

X74
オイラー無限遠点の等角共役点 (第一等力点と第二等力点のチェバ点) ( Λ(重心, 外心) )
isogonal conjugate of the Euler infinity point (cevapoint of the first and second isonynamic points) ( Λ(centroid, circumcenter) )

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X75
内心の等距離共役点 (三線二乗点の等角共役点)
isotomic conjugate of the incenter (isogonal conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc\)

X76
第三ブロカール点 (三線三乗点の等角共役点) (類似重心の等距離共役点)
third Brocard point (isogonal conjugate of the trilinear third power point) (isotomic conjugate of the symmedian point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2\)

X77
X33の等角共役点
isogonal conjugate of X33

\(f(a,b,c)=\dfrac{a(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

X78
X34の等角共役点
isogonal conjugate of X34

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X79
X35の等角共役点
isogonal conjugate of X35

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2+ca)(a^2+b^2-c^2+ab)\)

X80
内心のフォイエルバッハ点に関する鏡映 (X36の等角共役点) (内心のフールマン円についての反転)
reflection of the incenter in the Feuerbach point (isogonal conjugate of X36) (inverse-in-Fuhrmann-circle of the incenter)

\(f(a,b,c)=(c^2+a^2-b^2-ca)(a^2+b^2-c^2-ab)\)

X81
内心と類似重心のチェバ点 (X37の等角共役点)
cevapoint of the incenter and the symmedian point (isogonal conjugate of X37

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a)(a+b)\)

X82
X38の等角共役点 (内心と三線二乗点のチェバ点)
isogonal conjugate of X38 (cevapoint of the incenter and the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{b^2+c^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c^2+a^2)(a^2+b^2)\)

X83
重心と類似重心のチェバ点 (ブロカール中点の等角共役点)
cevapoint of the centroid and the symmedian point (isogonal conjugate of X39

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c^2+a^2)(a^2+b^2)\)

X84
ベバン点の等角共役点 (元の三角形とベバン点の外向三角形との配景の中心)
isogonal conjugate of the Bevan point (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the Bevan point)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、  \(g(a,b,c)=\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、  \(g(a,b,c)=a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2\)

X85
ミッテンプンクトの等距離共役点 (X41の等角共役点)
isotomic conjugate of the mittenpunkt (isogonal conjugate of X41)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X86
内心と重心のチェバ点 (X42の等角共役点) (シュピーカー心の等距離共役点)
cevapoint of the incenter and the centroid (isogonal conjugate of X42) (isotomic conjugate of the Spieker center)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b+c}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a)(a+b)\)

X87
内心の重心交叉共役点 (X43の等角共役点) (元の三角形とX43の外向三角形との配景の中心)
centroid-cross conjugate of the incenter (isogonal conjugate of X43) (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X43)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

別解 \(f(a,b,c)=a(bc+ba-ca)(ca+cb-ab)\)

X88
X44の等角共役点 (元の三角形とX44の外向三角形との配景の中心)
isogonal conjugate of X44 (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X44)

\(f(a,b,c)=a(c+a-2b)(a+b-2c)\)

X89
X45の等角共役点 (元の三角形とX45の外向三角形との配景の中心)
isogonal conjugate of X45 (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X45)

\(f(a,b,c)=a(2c+2a-b)(2a+2b-c)\)

X90
内心の外心交叉共役点 (X46の等角共役点) (元の三角形とX46の外向三角形との配景の中心)
circumcenter-cross conjugate of the incenter (isogonal conjugate of X46)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)\)

別表現1 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

別表現2 \(f(a,b,c)=a[a^3+a^2(b-c)-a(b^2+c^2)-(b-c)(b+c)^2][a^3-a^2(b-c)-a(b^2+c^2)+(b-c)(b+c)^2]\)

X91
X47の等角共役点
isogonal conjugate of X47

\(f(a,b,c)=bc[(c^2+a^2-b^2)^2-2c^2a^2][(a^2+b^2-c^2)^2-2a^2b^2]\)

X92
内心とクローソン点のチェバ点 (X48の等角共役点) (X63の等距離共役点)
cevapoint of the incenter and the Clawson point (isogonal conjugate of X48) (isotomic conjugate of X63)

\(f(a,b,c)=bc(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X93
正弦三倍角円の中心の等角共役点
isogonal conjugate of the center of the sine-triple angle center

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X94
X50の等角共役点
isogonal conjugate of X50

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X95
重心と外心のチェバ点 (X51の等角共役点) (九点円の中心の等距離共役点)
cevapoint of the centroid and the circumcenter (isogonal conjugate of X51) (isotomic conjugate of the nine-point center)

\(f(a,b,c)=[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2][c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2]\)

X96
X52の等角共役点 (外心とプラソロフ点のチェバ点)
isogonal conjugate of X52 (cevapoint of the circumcenter and the Prasolov point)

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X97
X53の等角共役点
isogonal conjugate of X53

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X98
タリー点 ( Λ(外心, 類似重心) )
Tarry point ( Λ(circumcenter, symmedian point) )

\(f(a,b,c)=(a^4+b^4-a^2c^2-b^2c^2)(a^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2)\)

X99
シュタイナー点
Steiner point

\(f(a,b,c)=(a^2-b^2)(a^2-c^2)\)

X100
フォイエルバッハ点の反補点 ( Ψ(内心, 重心) ) ( Ψ(垂心, ナーゲル点) ) ( Ψ(類似重心, 内心) ) ( Ψ(ジェルゴンヌ点, ナーゲル点) )
anticomplement of the Feuerbach point ( Ψ(incenter, centroid) ) ( Ψ(orthocenter, Nagel point) ) ( Ψ(symmedian point, incenter) ) ( Ψ(Gergonne point, Nagel point) )

\(f(a,b,c)=a(a-b)(a-c)\)

X101
イフ放物線の焦点 ( Ψ(重心, 内心) ) ( Ψ(ジェルゴンヌ点, 重心) )
focus of the Yff Parabola ( Ψ(centroid, incenter) ) ( Ψ(Gergonne point, centroid) )

\(f(a,b,c)=a^2(a-b)(a-c)\)

X102
Λ(内心, 垂心)
Λ(incenter, orthocenter)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^3(b+c)-a^2(b-c)^2+a(b-c)^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2\)

X103
Λ(内心, ジェルゴンヌ点)
Λ(incenter, Gergonne point)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=2a^3-a^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)\)

X104
Λ(内心, 外心)
Λ(incenter, circumcenter)

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c)-2abc-(b-c)^2(b+c)\)

X105
Λ(内心, 類似重心)
Λ(incenter, symmedian point)

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c)-(b^2+c^2)\)

X106
Λ(内心, 重心)
Λ(incenter, centroid)

\(f(a,b,c)=a^2(a-2b+c)(a+b-2c)\)

X107
Ψ(類似重心, 垂心) (Ψ(外心, 重心))
Ψ(symmedian point, orthocenter) (Ψ(circumcenter, centroid))

\(f(a,b,c)=(a^2-b^2)(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X108
Ψ(外心, 内心) (Ψ(内心, 垂心))
Ψ(circumcenter, incenter) (Ψ(incenter, orthocenter))

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(a-b+c)(a-b+c)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X109
Ψ(内心, 外心) (Ψ(垂心, 内心)) (Ψ(重心, ジェルゴンヌ点))
Ψ(circumcenter, incenter) (Ψ(orthocenter, incenter)) (Ψ(centroid, Gergonne point))

\(f(a,b,c)=a^2(a-b)(a-c)(c+a-b)(a-b+c)\)

X110
キーペルト放物線の焦点 (シュタムラー双曲線の中心)
focus of the Kiepert parabola (center of the Stammler hyperbola)

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)\)

X111
パリー点 ( Λ(重心, 類似重心) )
Parry point ( Λ(centroid, symmedian point) )

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-2b^2+c^2)(a^2+b^2-2c^2)\)

X112
Ψ(垂心, 類似重心) (Ψ(重心, 外心)) (Ψ(外心, 類似重心))
Ψ(orthocenter, symmedian point) (Ψ(centroid, circumcenter)) (Ψ(circumcenter, symmedian point))

\(f(a,b,c)=a^2(a^2-b^2)(a^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X113
ジェラベック対蹠点 (オイラー無限遠点の垂心チェバ共役点)
Jerabek antipode (orthocenter-ceva conjugate of the Euler infinity point)

\(f(a,b,c)=[2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2][a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^4-b^2c^2+c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)]\)

X114
キーペルト対蹠点 (垂心とシュタイナー点の中点)
Kiepert antipode (midpoint of the orthocenter and the Steiner point)

\(f(a,b,c)=[2a^4-a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2][a^2(b^2+c^2)-(b^4+c^4)]\)

X115
キーペルト双曲線の中心 (第一等角心と第二等角心の中点)
center of the Kiepert hyperbola (midpoint of the first and second isogonic points)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2\)

X116
垂心とX103の中点
midpoint of the orthocenter and X103

\(f(a,b,c)=(b-c)^2[-a(b+c)+b^2+bc+c^2]\)

X117
垂心とX109の中点
midpoint of the orthocenter and X109

\(f(a,b,c)=[2a^4-a^3(b+c)-a^2(b-c)^2+a(b-c)^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2][a^4(b^2+c^2)-a^3bc(b+c)-a^2(b-c)^2(2b^2+3bc+2c^2)+abc(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2(b^2-bc+c^2)]\)

X118
垂心とX101の中点
midpoint of the orthocenter and X101

\(f(a,b,c)=[2a^3-a(b+c)-(b-c)(b^2-c^2)][a^3(b^2+c^2)-a^2(b+c)(b^2-bc+c^2)-a(b^2-c^2)^2+(b^2-c^2)(b^3-c^3)]\)

X119
フォイエルバッハ対蹠点
Feuerbach antipode

\(f(a,b,c)=[a^2(b+c)-2abc-(b-c)^2(b+c)][a^3(b+c)-a^2(b^2+c^2)-a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2]\)

X120
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=[a^2(b+c)-2abc+(b-c)^2(b+c)][a(b+c)-b^2-c^2]\)

X121
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(2a-b-c)[a(b^2+c^2)+(b+c)(b^2-3bc+c^2)]\)

X122
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2(b^2+c^2-a^2)^2[3a^4-2a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X123
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2(b^2+c^2-a^2)[a^4+2a^2bc-2abc(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2]\)

X124
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b-c)^2[-a^2(b+c)+abc+(b+c)(b^2-bc+c^2)]\)

X125
ジェラベック双曲線の中心
center of the Jerabek hyperbola

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(b^2-c^2)^2\)

X126
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(2a^2-b^2-c^2)[a^2(b^2+c^2)+b^4-4b^2c^2+c^4]\)

X127
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(b^2-c^2)^2(b^2+c^2-a^2)(b^4+c^4-a^4)\)

X140
外心と九点円の中心の中点 (中点三角形の九点円の中心)
midpoint of the circumcenter and the nine-point center (nine-point center of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=2a^4-3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

別解 \(f(a,b,c)=3(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)-(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X141
類似重心の補点 (中点三角形の類似重心)
complement of the symmedian point (symmedian point of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=b^2+c^2\)

X142
ミッテンプンクトの補点 (ジェルゴンヌ点とミッテンプンクトの中点) (中点三角形のミッテンプンクト)
complement of the mittenpunkt (midpoint of the Gergonne point and the mittenpunkt) (mittenpunkt of the medial triangle)

\(f(a,b,c)=a(b+c)-(b-c)^2\)

X143
垂足三角形の九点円の中心
nine-point center of the orthic triangle

\(f(a,b,c)=a^2(a^2b^2+a^2c^2-b^4+2b^2c^2-c^4)(a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-b^2c^2+c^4)\)

X144
ジェルゴンヌ点の反補点
anticomplement of the Gergonne point

\(f(a,b,c)=3a^2-2a(b+c)-(b-c)^2\)

X145
ナーゲル点の反補点
anticomplement of the Nagel point

\(f(a,b,c)=3a-b-c\)

X154
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[3a^4-2a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X155
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[-a^6+3a^4(b^2+c^2)-a^2(3b^4-2b^2c^2+3c^4)+(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)]\)

X156
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^8-3a^6(b^2+c^2)+a^4(3b^4+2b^2c^2+3c^4)-a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)+b^2c^2(b^2-c^2)^2]\)

X157
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^6-a^4(b^2+c^2)+a^2(b^4+c^4)-(b^2-c^2)^2(c^2+b^2)]\)

X158
X92のクローソン点交叉共役点
Clawson-point-cross conjugate of X92

\(f(a,b,c)=bc(c^2+a^2-b^2)^2(a^2+b^2-c^2)^2\)

X164
傍心三角形の内心
incenter of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a\left(\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}-\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\right)\)

X165
傍心三角形の重心
centroid of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a(3a^2-2a(b+c)-(b-c)^2)\)

X166
傍心三角形のジェルゴンヌ点
Gergonne point of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a(g(b,c,a)+g(c,a,b)-g(a,b,c))\)  ただし、 \(g(a,b,c)=\dfrac1{(b+c-a)\left(\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}\right)}\)

X167
傍心三角形のナーゲル点
Nagel point of the excentral triangle

\(f(a,b,c)=a(g(b,c,a)+g(c,a,b)-g(a,b,c))\)  ただし、 \(g(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}}{b+c-a}\)

X169
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^3-a^2(b+c)+a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)\)

X171
第一シャリギン点の等角共役点
isogonal conjugate of the first Sharygin point

\(f(a,b,c)=a(a^2+bc)\)

X173
合同二等辺化線点
congruent isoscelizers point

\(f(a,b,c)=a\left(\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}\right)\)

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}+(c+a-b)(a+b-c)\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\left(1+\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{2\sqrt{\dfrac{abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}-\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}}\)

X174
イフ合同心
Yff center of congruence

\(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\)

X177
第一円弧中点点
first mid-arc point

\(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\left(\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}\right)\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{4bc}{(c+a-b)(a+b-c)}}\left(\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}+\sqrt{\dfrac{((a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\right)\)

X178
第二円弧中点点
second mid-arc point

\(f(a,b,c)=\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}+\sqrt{\dfrac{((a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\)

X179
第一安島マルファッティ点
first Ajima-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)^2}\)

X181
アポロニウス点
Apollonius point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(b+c)^2(c+a-b)(a+b-c)\)

X182
ブロカール直径の中点 (ブロカール円の中心) (外心と類似重心の中点)
midpoint of the Brocard diameter (center of the Brocard circle) (midpoint of the circumcenter and the symmedian point)

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b^2+c^2-a^2)+2b^2c^2]\)

X184
X125のブロカール円についての反転 (外心と類似重心の交叉点)
inverse of X125 in the Brocard circle (crosspoint of the circumcenter and the symmedian point)

\(f(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)\)

X186
垂心の外接円に関する反転
inverse of the orthocenter in the circumcircle

\(f(a,b,c)=a^2[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2](c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

X187
シャウテ心 (類似重心の外接円に関する反転) (第一等力点と第二等力点の中点)
Schoute center (inverse in the circumcircle of the symmedian point) (midpoint of the first isodynamic point and the second isodynamic point)

\(f(a,b,c)=a^2(2a^2-b^2-c^2)\)

X188
反中点三角形の第二円弧中点点 (元の三角形とイフ合同心の外向三角形との配景の中心)
second mid-arc point of the anticomplementary triangle (perspector of the reference triangle of the Yff center of congruence)

\(f(a,b,c)=\sqrt{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\)

X190
イフ放物点
Yff parabolic point

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)\)

X191
内心のシュピーカー心チェバ共役点
Spieker-center-Ceva conjugate of the incenter

\(f(a,b,c)=a(-a^3-a^2(b+c)+a(b^2+bc+c^2)+(b+c)(b^2+c^2))\)

X192
合同辺平行線点 (重心の内心チェバ共役点)
congruent parallelians point (incenter-Ceva conjugate of centroid)

\(f(a,b,c)=a(b+c)-bc\)

X193
重心の垂心チェバ共役点
orthocenter-Ceva conjugate of the centroid

\(f(a,b,c)=3a^2-b^2-c^2\)

X194
重心の類似重心チェバ共役点
symmedian-point--Ceva conjugate of the centroid

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-b^2c^2\)

X200
ミッテンプンクトのナーゲル点チェバ共役点
Nagel-point-Ceva conjugate of the mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)^2\)

X202
第一等力点の内心チェバ共役点
incenter-Ceva conjugate of the first isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[4bc-(b^2+c^2-a^2)+4\sqrt{3}\Delta]\)

X203
第二等力点の内心チェバ共役点
incenter-Ceva conjugate of the second isodynamic point

\(f(a,b,c)=a^2[4bc-(b^2+c^2-a^2)-4\sqrt{3}\Delta]\)

X210
ナーゲル点とミッテンプンクトの交叉点
crosspoint of the Nagel point and the Mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a(b+c)(b+c-a)\)

X212
X41のミッテンプンクト・チェバ共役点 (X48の外心チェバ共役点)
Mittenpunkt-Ceva conjugate of X41 (circumcenter-Ceva conjugate of X48)

\(f(a,b,c)=a^3(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X213
X42の類似重心チェバ共役点
symmedian-point-Ceva conjugate of X42

\(f(a,b,c)=a^3(b+c)\)

X215
X50の内心チェバ共役点
incenter-Ceva conjugate of X50

\(f(a,b,c)=a^4(b+c-a)(b^2+c^2-a^2-bc)^2\)

X216
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X218
X55のジェルゴンヌ点チェバ共役点
Gergonne-point-Ceva conjugate of X55

\(f(a,b,c)=a^2(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac)\)

X219
X55のナーゲル点チェバ共役点
Nagel-point-Ceva conjugate of X55

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X220
X55のミッテンプンクト・チェバ共役点
mittenpunkt-Ceva conjugate of X55

\(f(a,b,c)=a^2(b+c-a)^2\)

X221
X56の内心チェバ共役点
incenter-Ceva conjugate of X56

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2[a(b^2+c^2-a^2)-b(c^2+a^2-b^2)-c(a^2+b^2-c^2)+2abc]}{b+c-a}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{4abc-a^2[(a+b+c)(c+a-b)(a+b-c)]}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(a+b)(a-b)^2]\)

X222
X56のジェルゴンヌ点チェバ共役点
Gergonne-point-Ceva conjugate of X56

\(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

X236
X188の重心チェバ共役点
centroid-Ceva conjugate of X188

\(f(a,b,c)=1+\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\)

X238
第二シャリギン点の等角共役点 (元の三角形とX171の外向三角形との配景の中心)
isogonal conjugate of the second Sharygin point (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X171)

\(f(a,b,c)=a(a^2-bc)\)

X253
ド・ロンシャン点の等距離共役点
isogonal conjugate of the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)-(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現1 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

別表現2 \(f(a,b,c)=[a^4+2a^2(b^2-c^2)-(3b^2+c^2)(b^2-c^2)][a^4-2a^2(b^2-c^2)+(b^2+3c^2)(b^2-c^2)]\)

X255
X188の等角共役点
isogonal conjugate of X188

\(f(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X256
第一シャリギン点
first Sharygin point

\(f(a,b,c)=a(ab+c^2)(ac+b^2)\)

別解

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{a^2+bc}\)

X258
合同内接円二等辺化線点 (合同二等辺化線点の等角共役点)
congruent incircles isoscelizer point (isogonal conjugate of the congruent isoscelizers point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\sqrt{b(c+a-b)}+\sqrt{c(a+b-c)}-\sqrt{a(b+c-a)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}-(c+a-b)(a+b-c)\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\left(1-\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)\)

別解3 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{\dfrac{abc}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b-c}}-\sqrt{\dfrac{a}{b+c-a}}\right)\)

X261
X12の等距離共役点
isotomic conjugate of X12

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{(b+c)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c-a)(c+a)^2(a+b)^2\)

X264
外心の等距離共役点
isotomic conjugate of the circumcenter

\(f(a,b,c)=b^2c^2(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\)

別表現 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)\)

別解 \(f(a,b,c)=\frac{(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)}{a^2}\)

X269
X200の等角共役点 (元の三角形とX200の外向三角形との配景の中心)
isogonal conjugate of X200 (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X200)

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{(b+c-a)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=a(c+a-b)^2(a+b-c)^2\)

X273
X212の等角共役点 (X78の等距離共役点)
isogonal conjugate of X212 (isotomic conjugate of X78)

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X274
X213の等角共役点 (X37の等距離共役点)
isogonal conjugate of X213 (isotomic conjugate of X37)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(a+b)(a+c)\)

X277
X218の等角共役点
isogonal conjugate of X218

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\)

X278
X219の等角共役点
isogonal conjugate of X219

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X279
X220の等角共役点
isogonal conjugate of X220

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{(b+c-a)^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=(c+a-b)^2(a+b-c)^2\)

X286
X72の等距離共役点
isotomic conjugate of X72

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{a(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X291
第二シャリギン点 (元の三角形と第一シャリギン点の外向三角形との配景の中心)
second Sharygin point (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the first Sharygin point)

\(f(a,b,c)=a(ab-c^2)(ac-b^2)\)

X298
第一等角心の等距離共役点
isotomic conjugate of the first isogonic center

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X299
第二等角心の等距離共役点
isotomic conjugate of the second isogonic center

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X300
第一等力点の等距離共役点
isotomic conjugate of the first isodynamic point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta]\)、  \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{g(b,c,a)g(c,a,b)}{a^2}\)  ただし、 \(g(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)+4\Delta\)、  \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解2 \(f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\Delta-\dfrac{2(b^2-c^2)^2}{a^2}\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X301
第二等力点の等距離共役点
isotomic conjugate of the second isodynamic point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta]\)、  \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{g(b,c,a)g(c,a,b)}{a^2}\)  ただし、 \(g(a,b,c)=\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)-4\Delta\)、  \(\Delta\)は元の三角形の面積

別解2 \(f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta-\dfrac{2(b^2-c^2)^2}{a^2}\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X302
第一ナポレオン点の等距離共役点
isotomic conjugate of the first Napoleon point

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2+4\sqrt{3}\Delta\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X303
第二ナポレオン点の等距離共役点
isotomic conjugate of the second Napoleon point

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-a^2-4\sqrt{3}\Delta\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X304
クローソン点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Clawson point

\(f(a,b,c)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b^2+c^2-a^2)\)

X305
X25の等距離共役点
isotomic conjugate of X25

\(f(a,b,c)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b^2+c^2-a^2)\)

X306
X27の等距離共役点
isotomic conjugate of X27

\(f(a,b,c)=(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X307
X29の等距離共役点
isotomic conjugate of X29

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c)(c+a-b)(a+b-c)(b^2+c^2-a^2)\)

X308
ブロカール中点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Brocard midpoint

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b^2+c^2)}\)

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)\)

X309
ベバン点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Bevan point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a\left(\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}-\dfrac{a}{b+c-a}\right)\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b+c)^2-(b+c)(b-c)^2]\)

X310
X42の等距離共役点
isotomic conjugate of X42

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c)\)

X311
コスニタ点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Kosnita point

\(f(a,b,c)=b^2+c^2-\dfrac{(b^2-c^2)^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X312
X57の等距離共役点 (元の三角形とX85の外向三角形との配景の中心)
isotomic conjugate of X57 (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X85)

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b+c-a)\)

X313
X58の等距離共役点
isotomic conjugate of X58

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b+c)\)

X314
X65の等距離共役点
isotomic conjugate of X65

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{a(b+c)}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(a+b)(a+c)(b+c-a)\)

X315
X66の等距離共役点
isotomic conjugate of X66

\(f(a,b,c)=b^4+c^4-a^4\)

X316
ドルッサン[かなめ]X67の等距離共役点)
Droussent pivot (isotomic conjugate of X67)

\(f(a,b,c)=b^4+c^4-a^4-b^2c^2\)

X319
X79の等距離共役点
isotomic conjugate of X79

\(f(a,b,c)=a^2-b^2-bc-c^2\)

X320
X80の等距離共役点
isotomic conjugate of X80

\(f(a,b,c)=a^2-b^2+bc-c^2\)

X331
X219の等距離共役点
isotomic conjugate of X219

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{a^2(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X344
X277の等距離共役点
isotomic conjugate of X277

\(f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\)

X345
X278の等距離共役点
isotomic conjugate of X278

\(f(a,b,c)=(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X346
X279の等距離共役点
isotomic conjugate of X279

\(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\)

X354
ヴァイル点 (ジェルゴンヌ三角形の重心)
Weill point (centroid of the Gergonne triangle)

\(f(a,b,c)=a[a(b+c)-(b-c)^2]\)

X355
フールマン心
Fuhrmann center

\(f(a,b,c)=a^4-a^3(b+c)+2a^2bc+a(b+c)(b-c)^2-(b+c)^2(b-c)^2\)

X356
第一モーリー三角形の中心
center of the first Morley triangle

\(f(a,b,c)=a\left(\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X357
第一モーリー・テーラー・マール心 (第一モーリー三角形と元の三角形の配景の中心) (第二モーリー・テーラー・マール心の等角共役点)
first Morley-Tailor-Marr center (perspector of the first Morley triangle and the reference triangle) (isogonal conjugate of the second Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X358
第二モーリー・テーラー・マール心 (第一モーリー付属三角形と元の三角形の配景の中心) (第一モーリー三角形と第二モーリー三角形の配景の中心) (第一モーリー・テーラー・マール心の等角共役点)
second Morley-Tailor-Marr center (perspector of the first adjunct Morley triangle and the reference triangle) (perspector of the first adjunct Morley triangle and the second Morley triangle) (isogonal conjugate of the first Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X365
三線平方根点
trilinear square root point

\(f(a,b,c)=a^{3/2}\)

X366
三線平方根点の等角共役点
isogonal conjugate of the trilinear square root point

\(f(a,b,c)=a^{1/2}\)

X371
剣持点 (合同正方形点)
Kenmochi point (congruent squares point)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+4\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X373
重心の垂足三角形の重心
centroid of the pedal triangle of the centroid

\(f(a,b,c)=a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4+6b^2c^2-c^4)\)

X372
剣持点の外心類似重心調和共役点
circumcenter-symmedian-point-harmonic conjugate of the Kenmochi point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-4\Delta)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X375
シュピーカー心の垂足三角形の重心
centroid of the pedal triangle of the Spieker center

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)-abc(b+c)-(b+c)^2(b^2-3bc+c^2)\)

X376
重心の反垂足三角形の重心
centroid of the antipedal triangle of the centroid

\(f(a,b,c)=5a^4-4a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

X381
重心と垂心の中点
midpoint of the centroid and the orthocenter

\(f(a,b,c)=a^4+a^2(b^2+c^2)-2(b^2-c^2)^2\)

X390
ジェルゴンヌ点の内心についての鏡映
reflection of the Gergonne point in the incenter

\(f(a,b,c)=(b+c-a)[3a^2+(b-c)^2]\)

X395
第二等角心と第二等力点の中点
midpoint of the second isogonic center and the second isodynamic point

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}a^2-4\Delta\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X396
第一等角心と第一等力点の中点
midpoint of the first isogonic center and the first isodynamic point

\(f(a,b,c)=\sqrt{3}a^2+4\Delta\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X400
イフ・マルファッティ点
Yff-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)^2\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)^2\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)^2}\)

X483
マルファッティ円の根心 (マルファッチ三角形の内心)
radical center of the Malfatti circles (incenter of the Malfatti triangle)

\(f(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{a}}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a\vphantom{f}}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{2bc+\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\sqrt{bc\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}}\)

別解2 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a}\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}\)

別解4 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\left(1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X500
内心三角形の垂心
orthocenter of the incentral triangle

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)(a^2(b+c)+2abc-(b-c)^2(b+c))\)

X511
直線X3X6と無限遠直線の交点 (タリー点の等角共役点)
intersection of the line X3X6 and the line at infinity (isogonal conjugate of the Tarry point)

\(f(a,b,c)=a^2(a^2(b^2+c^2)-b^4-c^4)\)

X512
シュタイナー点の等角共役点
isogonal conjugate of the Steiner point

\(f(a,b,c)=a^2(b^2-c^2)\)

X513
フォイエルバッハ点の反補点の等角共役点
isogonal conjugate of the anticomplement of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=a(b-c)\)

X514
イフ放物線の焦点の等角共役点
isogonal conjugate of the focus of the Yff Parabola

\(f(a,b,c)=b-c\)

X519
直線X1X2と無限遠直線の交点
intersection of the line X1X2 and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a-b-c\)

X527
直線X2X7と無限遠直線の交点
intersection of the line X2X7 and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^2-a(b+c)-(b-c)^2\)

X528
直線X2X11と無限遠直線の交点
intersection of the line X2X11 and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^3-2a^2(b+c)+a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)\)

X529
直線X2X12と無限遠直線の交点
intersection of the line X2X12 and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2-4bc+c^2)-2abc(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2\)

X534
直線X2X19と無限遠直線の交点
intersection of the line X2X19 and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^5+a^4(b+c)-2a^2bc(b+c)-2a(b-c)^2(b+c)^2-(b-c)^2(b+c)(b^2+c^2)\)

X535
直線X2X36と無限遠直線の交点
intersection of the line X2X36 and the line at infinity

\(f(a,b,c)=2a^4-a^2(b-c)^2-abc(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2\)

X546
垂心と九点円の中心の中点
midpoint of the orthocenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4+a^2(b^2+c^2)-3(b^2-c^2)^2\)

X547
重心と九点円の中心の中点
midpoint of the centroid and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4-7a^2(b^2+c^2)+5(b^2-c^2)^2\)

X548
九点円の中心とド・ロンシャン点の中点
midpoint of the nine-point center and the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-6a^4+5a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X549
重心と外心の中点
midpoint of the centroid and the circumcenter

\(f(a,b,c)=4a^4-5a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X550
外心とド・ロンシャン点の中点
midpoint of the circumcenter and the de Longchamps point

\(f(a,b,c)=-4a^4+3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\)

X551
内心と重心の中点
midpoint of the incenter and the centroid

\(f(a,b,c)=4a+b+c\)

X560
三線四乗点
trilinear fourth power point

\(f(a,b,c)=a^5\)

X561
三線四乗点の等角共役点 (三線二乗点の等距離共役点)
isogonal conjugate of the trilinear fourth power point (isotomic conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^3}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^3c^3\)

X597
重心と類似重心の中点
midpoint of the centroid and the symmedian point

\(f(a,b,c)=4a^2+b^2+c^2\)

X598
X599の等距離共役点
isotomic conjugate of X599

\(f(a,b,c)=(2a^2-b^2+2c^2)(2a^2+2b^2-c^2)\)

X599
類似重心の重心に関する鏡映
reflection of the symmedian point in the centroid

\(f(a,b,c)=a^2-2b^2-2c^2\)

X604
元の三角形とX41の外向三角形との配景の中心
perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X41

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^3}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^3(c+a-b)(a+b-c)\)

X726
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a(b^2+c^2)-bc(b+c)\)

X727
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^2(b-c)-ac^2+bc^2][a^2(b-c)+ab^2-b^2c]\)

X942
ジェルゴンヌ三角形の九点円の中心
nine-point center of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a[a^2(b+c)+2abc-(b-c)^2(b+c)]\)

X943
ジェルゴンヌ三角形の九点円の中心の等角共役点
isogonal conjugate of the nine-point center of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a[a^3-a^2c-a(b+c)^2-c(b-c)(b+c)][a^3-a^2b-a(b+c)^2+b(b-c)(b+c)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b+c)+2abc-(b-c)^2(b+c)\)

X946
内心と垂心の中点
midpoint of the incenter and the orthocenter

\(f(a,b,c)=a^3(b+c)+(b-c)^2[a^2-a(b+c)-(b+c)^2]\)

X1001
内心とミッテンプンクトの中点
midpoint of the incenter and mittenpunkt

\(f(a,b,c)=a[a^2-a(b+c)-2bc]\)

X1002
X1001の等角共役点
isogonal conjugate of X1001

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{a^2-a(b+c)-2bc}\)

別解 \(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2-a(b+c)-2bc\)

別解の別表現 \(f(a,b,c)=a[a(b+2c)-b(b-c)][a(2b+c)+b(b-c)]\)

X1125
シュピーカー心の補点 (内心とシュピーカー心の中点)
complement of the Spieker center (midpoint of the incenter and the Spieker center)

\(f(a,b,c)=2a+b+c\)

X1134
第三モーリー・テーラー・マール心 (第三モーリー三角形と元の三角形の配景の中心) (第四モーリー・テーラー・マール心の等角共役点)
third Morley-Tailor-Marr center (perspector of the third Morley triangle and the reference triangle) (isogonal conjugate of the fourth Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

X1135
第四モーリー・テーラー・マール心 (第三モーリー付属三角形と元の三角形の配景の中心) (第三モーリー三角形と第一モーリー三角形の配景の中心) (第三モーリー・テーラー・マール心の等角共役点)
fourth Morley-Tailor-Marr center (perspector of the third adjunct Morley triangle and the reference triangle) (perspector of the third adjunct Morley triangle and the first Morley triangle) (isogonal conjugate of the third Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

X1136
第五モーリー・テーラー・マール心 (第二モーリー三角形と元の三角形の配景の中心) (第六モーリー・テーラー・マール心の等角共役点)
fifth Morley-Tailor-Marr center (perspector of the second Morley triangle and the reference triangle) (isogonal conjugate of the sixth Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1/2 \le x \le -1/2\)

X1137
第六モーリー・テーラー・マール心 (第二モーリー付属三角形と元の三角形の配景の中心) (第二モーリー三角形と第三モーリー三角形の配景の中心) (第五モーリー・テーラー・マール心の等角共役点)
sixth Morley-Tailor-Marr center (perspector of the second adjunct Morley triangle and the reference triangle) (perspector of the second adjunct Morley triangle and the third Morley triangle) (isogonal conjugate of the fifth Morley-Tailor-Marr center)

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1/2 \le x \le -1/2\)

X1142
第一マルファッティ・ラビノヴィッツ点
first Malfatti-Rabinowitz point

\(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{ca}+\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(2\sqrt{ab}+\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}-a\)

別表現1 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{\left(c^2+a^2-b^2+6ca+4\sqrt{ca(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(a^2+b^2-c^2+6ab+4\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}-a\)

別表現2 \(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{2\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}\right)\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\right)}{1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}-1\right)\)

X1143
第二マルファッティ・ラビノヴィッツ点
second Malfatti-Rabinowitz point

\(f(a,b,c)=\sqrt{b+c-a}\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{(b+c-a)\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{b+c-a}{2a}}\left(1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X1274
第二マルファッティ・ラビノヴィッツ点の等距離共役点 (外第二マルファッティ・ラビノヴィッツ点)
isotomic conjugate of the second Malfatti-Rabinowitz point (external second Malfatti-Rabinowitz point)

\(f(a,b,c)=\sqrt{b+c-a}\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{(b+c-a)\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{b+c-a}{2a}}\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X1385
内心と外心の中点
midpoint of the incenter and the circumcenter

\(f(a,b,c)=a[a(b^2+c^2-a^2)+(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a[-2a^3+a^2(b+c)+2a(b^2-bc+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X1386
内心と類似重心の中点
midpoint of the incenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=a[a(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=a[2a^2+a(b+c)+b^2+c^2]\)

X1387
内心とフォイエルバッハ点の中点
midpoint of the incenter and the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=2a[abc-(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]+(b-c)^2(a+b+c)(b+c-a)\)

別表現 \(f(a,b,c)=2a^4-2a^3(b+c)-a^2(3b^2-8bc+3c^2)-2a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2\)

X1441
シフラー点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Schiffler point

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c}{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b+c)g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X1476
ジェルゴンヌ三角形のドロンシャン点の等角共役点
isogonal conjugate of the de Longchamps point of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a(a-b+c)(a+b-c)[a^2+a(b-2c)+c(b+c)][a^2-a(2b-c)+b(b+c)]\)

X1482
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^3-2a^2(b+c)-a(b^2-4bc+c^2)+2(b-c)^2(b+c)]\)

X1489
第三ステヴァノヴィッチ点
third Stevanović point

\(f(a,b,c)=\sqrt{a}\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}-\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)}\right)\)

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2bc-\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}-\sqrt{bc(a-b+c)(a+b-c)}\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}-\sqrt{\dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}}\)

X1494
オイラー無限遠点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Euler infinity point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2\)

別表現 \(f(a,b,c)=[a^4+a^2(b^2-2c^2)-(b^2-c^2)(2b^2+c^2)][a^4-a^2(2b^2-c^2)+(b^2-c^2)(b^2+2c^2)]\)

X1501
三線五乗点
trilinear fifth power point

\(f(a,b,c)=a^6\)

X1502
三線五乗点の等角共役点 (三線三乗点の等距離共役点)
isogonal conjugate of the trilinear fifth power point (isotomic conjugate of the trilinear third power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^4}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^4c^4\)

X1745
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^5(b+c)+a^4bc-2a^3(b+c)(b^2-bc+c^2)+a(b-c)^2(b+c)(b^2+c^2)-bc(b-c)^2(b+c)^2]\)

X1917
三線六乗点
trilinear sixth power point

\(f(a,b,c)=a^7\)

X1928
三線六乗点の等角共役点 (三線四乗点の等距離共役点)
isogonal conjugate of the trilinear fourth power point (isotomic conjugate of the trilinear second power point)

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^5}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^5c^5\)

X1962
内心三角形の重心
centroid of the incentral triangle

\(f(a,b,c)=a(b+c)(2a+b+c)\)

X1969
X48の等距離共役点
isotomic conjugate of X48

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{a^3}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^3(b^2+c^2-a^2)\)

X2262
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^3(b+c)+a^2(b-c)^2-a(b-c)^2(b+c)-(b-c)^2(b+c)^2]\)

X2550
シュピーカー円と円(X4,2R)の内相似中心 (ジェルゴンヌ点とナーゲル点の中点)
insimilicenter of the Spieker circle and the circle(X4,2R) (midpoint of the Gergonne point and the Nagel point)

\(f(a,b,c)=b+c+\dfrac{(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{4abc}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^3-a^2(b+c)+a(b+c)^2-(b-c)^2(b+c)\)

X3057
ジェルゴンヌ三角形のドロンシャン点
de Longchamps point of the Gergonne triangle

\(f(a,b,c)=a(b+c-a)[a(b+c)-(b-c)^2]\)

X3082
外マルファッティ円の根心
radical center of the external Malfatti circles

\(f(a,b,c)=\dfrac{\sqrt{a}}{2\sqrt{bc}-\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{a\vphantom{f}}{b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{2bc-\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\sqrt{bc\left(b^2+c^2-a^2+6bc-4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}}\)

別解2 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a}\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}\right)\)

別解2の別表現 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\sqrt{a\left(b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}\right)}\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{1-\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}\)

別解4 \(f(a,b,c)=(b+c-a)\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

X3112
X38の等距離共役点
isotomic conjugate of X38

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a(b^2+c^2)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(b^2+c^2)\)

X3241
重心の内心に関する鏡映 (ナーゲル点の重心に関する鏡映)
reflection of the centroid in the incenter (reflection of the Nagel point in the centroid)

\(f(a,b,c)=5a-b-c\)

X3146
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=5a^4-2a^2(b^2+c^2)-3(b^2-c^2)^2\)

X3157
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X3164
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=-a^6(b^2+c^2)+a^4(2b^4-b^2c^2+2c^4)-a^2(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)+b^2c^2(b^2-c^2)^2\)

X3167
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)(b^2+c^2-3a^2)\)

X3679
内心の重心に関する鏡映 (内心とナーゲル点の中点)
reflection of the incenter in the centroid (midpoint of the incenter and the Nagel point)

\(f(a,b,c)=a-2(b+c)\)

X3260
X74の等距離共役点
isotomic conjugate of X74

\(f(a,b,c)=\dfrac{2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(2a^4-a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2)\)

X3271
元の三角形とアポロニウス点の外向三角形との配景の中心
perspector of the reference triangle and the Apollonius point

\(f(a,b,c)=\dfrac{a^2(b+c)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=a^2(c+a-b)(a+b-c)(b+c)^2\)

X3272
正三角形J1J2J3の中心、 ただし、J1J2J3は元の三角形に内接し第一モーリー三角形にホモセティックな唯一の正三角形
center of the equilateral triangle J1J2J3, where J1J2J3 is the unique equilateral triangle inscribed in the reference triangle and homothetic to the first Morley triangle

\(f(a,b,c)=a\varphi\left(\dfrac{a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2}{2a^2bc}\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X3276
第二モーリー三角形の中心
center of the second Morley triangle

\(f(a,b,c)=a\left(\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1/2 \le x \le 1/2\)

X3277
第三モーリー三角形の中心
center of the third Morley triangle

\(f(a,b,c)=a\left(\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\right)\)  ただし、 \(\varphi(u)=x \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

X3363
重心の垂足三角形の類似重心
symmedian point of the pedal triangle of the centroid

\(f(a,b,c)=4a^4+5a^2(b^2+c^2)-5b^4+14b^2c^2-5c^4\)

X3596
第一オデーナル点
first Odehnal point

\(f(a,b,c)=\dfrac{b+c-a}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b+c-a)\)

X3605
第一モーリー三角形の中心の等角共役点
isogonal conjugate of the center of the first Morley triangle

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\)  ただし、 \(\varphi(x)=u \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; 1/2 \le x \le 1\)

X3606
第二モーリー三角形の中心の等角共役点
isogonal conjugate of the center of the second Morley triangle

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\)  ただし、 \(\varphi(x)=u \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1/2 \le x \le 1/2\)

X3607
第三モーリー三角形の中心の等角共役点
isogonal conjugate of the center of the third Morley triangle

\(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\varphi\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)+2\varphi\left(\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right)\varphi\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\)  ただし、 \(\varphi(x)=u \iff 4x^3-3x=u \;\text{かつ}\; -1 \le x \le -1/2\)

X3626
ナーゲル点とシュピーカー心の中点
midpoint of the Nagel point and the Spieker center

\(f(a,b,c)=3b+3c-2a\)

X3679
重心とナーゲル点の中点
midpoint of the centroid and the Nagel point

\(f(a,b,c)=2b+2c-a\)

X3718
X34の等距離共役点
isotomic conjugate of X34

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b+c-a)(b^2+c^2-a^2)\)

X3828
重心とシュピーカー心の中点
midpoint of the centroid and the Spieker center

\(f(a,b,c)=2a+5b+5c\)

X4998
フォイエルバッハ点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Feuerbach point

\(f(a,b,c)=\dfrac{(c-a)^2(a-b)^2}{b+c-a}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=(b-c)^2(b+c-a)\)

X5480
垂心と類似重心の中点
midpoint of the orthocenter and the symmedian point

\(f(a,b,c)=3a^4(b^2+c^2)-2a^2(b^2-c^2)^2-(b^2+c^2)(b^2-c^2)^2\)

X5542
内心とジェルゴンヌ点の中点
midpoint of the incenter and the Gergonne point

\(f(a,b,c)=3a^2(b+c)-2a(b-c)^2-(b+c)(b-c)^2\)

X5570
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a[a^5(b+c)-a^4(b^2+c^2)-2a^3(b+c)(b^2-bc+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^2-bc+c^2)+a(b-c)^2(b+c)(b^2+c^2)-(b-c)^4(b+c)^2]\)

X5805
垂心とジェルゴンヌ点の中点
midpoint of the orthocenter and the Gergonne point

\(f(a,b,c)=a^6-a^5(b+c)-a^4(b^2+c^2)+a^2(b-c)^2(b^2+c^2)+a(b-c)^2(b+c)^3-(b-c)^4(b+c)^2\)

X5901
内心と九点円の中心の中点
midpoint of the incenter and the nine-point center

\(f(a,b,c)=2a^4-2a^3(b+c)-a^2(3b^2-4bc+3c^2)+2a(b-c)^2(b+c)+(b-c)^2(b+c)^2\)

X6063
X55の等距離共役点
isotomic conjugate of X55

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2(c+a-b)(a+b-c)\)

X6173
重心とジェルゴンヌ点の中点
midpoint of the centroid and the Gergonne point

\(f(a,b,c)=a^2+a(b+c)-2(b-c)^2\)

X6381
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=bc(a(b+c)-2bc)\)

X6384
X43の等距離共役点
isotomic conjugate of X43

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a\left(\dfrac1b+\dfrac1c\right)-1\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(ab+ac-bc)\)

X7001
元の三角形と合同二等辺化線点の外向三角形との配景の中心
perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the congruent isoscelizers point

\(f(a,b,c)=a\left(\sqrt{1+\dfrac{2\Delta}{ab}}+\sqrt{1+\dfrac{2\Delta}{ac}}-\sqrt{1+\dfrac{2\Delta}{ab}}-1\right)\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

別解1 \(f(a,b,c)=a\left(2\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}+(a+b+c)(b+c-a)\right)\)

別解2 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}\right)\)

別解3 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\sqrt{1-\dfrac{2\Delta}{ab}}+\sqrt{1-\dfrac{2\Delta}{ac}}-\sqrt{1-\dfrac{2\Delta}{bc}}+1}\)   ただし、\(\Delta\)は元の三角形の面積

X7002
元の三角形と第一安島マルファッチ点の外向三角形との配景の中心
perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the first Ajima-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2-b^2-c^2+6bc+4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}{(b+c-a)^2}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{a^2-b^2-c^2+6bc-4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}{(b+c-a)^2}\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1+\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)^2}\)

X7022
元の三角形とイフ・マルファッチ点の外向三角形との配景の中心
perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of the Yff-Malfatti point

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{\left(2\sqrt{bc}-\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}\)

別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2-b^2-c^2+6bc-4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}\)

別解1 \(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{bc}+\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)}\right)^2}{(b+c-a)^2}\)

別解1の別表現 \(f(a,b,c)=\dfrac{a^2-b^2-c^2+6bc+4\sqrt{bc(c+a-b)(a+b-c)}}{(b+c-a)^2}\)

別解2 \(f(a,b,c)=\dfrac{a}{\left(1-\sqrt{\dfrac{(c+a-b)(a+b-c)}{4bc}}\right)^2}\)

X7182
X33の等距離共役点 (元の三角形とX3718の外向三角形との配景の中心)
isotomic conjugate of X33 (perspector of the reference triangle and the extraversion triangle of X3718)

\(f(a,b,c)=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{a(b+c-a)}\)

別解 \(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-a)\)

X7991
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a(a^3+3a^2(b+c)-a(b^2+6bc+c^2)-3(b+c)(b-c)^2)\)

X8143
内心三角形の外心
circumcenter of the incentral triangle

\(f(a,b,c)=a(a^5(b+c)+a^4(b^2+c^2)-a^3(b+c)(2b^2+bc+2c^2)-2a^2(b^4+b^3c+b^2c^2+bc^3+c^4)+a(b-c)^2(b+c)(b^2+3bc+c^2)+(b-c)^2(b+c)^4)\)

X9233
三線七乗点 (P13U13の重心座標積)
trilinear seventh power point (baricentric product of P13 and U13)

\(f(a,b,c)=a^8\)

X9241
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=7a^4-16a^2(b^2+c^2)+b^4+14b^2c^2+c^4\)

X9742
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=3a^8+12(b^2+c^2)a^6-2(13b^4+16b^2c^2+13c^4)a^4+4(b^2+c^2)(5b^4-4b^2c^2+5c^4)a^2-(b^2-c^2)^2(9(b^2+c^2)^2-16b^2c^2)\)

X12815
第一ナポレオン点と第二ナポレオン点の中点
midpoint of the first and second Napoleon points

\(f(a,b,c)=4a^4-6a^2(b^2+c^2)+5(b^2-c^2)^2\)

X14615
X64の等距離共役点
isotomic conjugate of X64

\(f(a,b,c)=\dfrac{-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2}{a^2}\)

別解 \(f(a,b,c)=b^2c^2[-3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2]\)

X17834
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2[a^8-2a^4(3b^4+2b^2c^2+3c^4)+8a^2(b^6+c^6)-(3b^4+2b^2c^2+3c^4)(b^2-c^2)^2]\)

X18018
エクセター点の等距離共役点
isotomic conjugate of the Exeter point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4)\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{(c^4+a^4-b^4)(a^4+b^4-c^4)}{a^2}\)

X18019
遥遠点(仮称)の等距離共役点
isotomic conjugate of the far-out point

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)   ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^4+c^4-a^4-b^2c^2)\)

別解 \(f(a,b,c)=\dfrac{(c^4+a^4-b^4-c^2a^2)(a^4+b^4-c^4-a^2b^2)}{a^2}\)

X20336
X28の等距離共役点
isotomic conjugate of X28

\(f(a,b,c)=\dfrac{(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{a}\)

別解 \(f(a,b,c)=bc(b+c)(b^2+c^2-a^2)\)

X20563
X24の等距離共役点
isotomic conjugate of X24

\(f(a,b,c)=(b^2+c^2-a^2)g(b,c,a)g(c,a,b)\) ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4]\)

別表現 \(f(a,b,c)=b^2c^2(b^2+c^2-a^2)[a^4-2a^2b^2+(b^2-c^2)^2][a^4-2a^2c^2+(b^2-c^2)^2]\)

X20564
X26の等距離共役点
isotomic conjugate of X26

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[a^8-2a^6(b^2+c^2)+2a^2(b^2+c^2)(b^4-b^2c^2+c^4)-(b^2-c^2)^2(b^4+c^4)]\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2[b^4(c^2+a^2-b^2)^2+c^4(a^2+b^2-c^2)^2-a^4(b^2+c^2-a^2)^2+2a^2b^2c^2(b^2+c^2-a^2))]\)

X20565
X35の等距離共役点
isotomic conjugate of X35

\(f(a,b,c)=\dfrac{1}{a^2(b^2+c^2-a^2+bc)}\)

別解 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2+bc)\)

X20566
X36の等距離共役点
isotomic conjugate of X36

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2-bc)\)

X20567
X41の等距離共役点
isotomic conjugate of X41

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^3(b+c-a)\)

X20568
X44の等距離共役点
isotomic conjugate of X44

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(b+c-2a)\)

X20569
X45の等距離共役点
isotomic conjugate of X45

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a(2b+2c-a)\)

X20570
X46の等距離共役点
isotomic conjugate of X46

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a[b(c^2+a^2-b^2)+c(a^2+b^2-c^2)-a(b^2+c^2-a^2)]\)

別表現 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a[a^3+a^2(b+c)-a(b^2+c^2)-(b-c)^2(b+c)]\)

X20571
X47の等距離共役点
isotomic conjugate of X47

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^3[(b^2+c^2-a^2)^2-2b^2c^2]\)

別表現 \(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^3[a^4-2a^2(b^2+c^2)+b^4+c^4]\)

X20572
X49の等距離共役点
isotomic conjugate of X49

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^4(b^2+c^2-a^2)[(b^2+c^2-a^2)^2-3b^2c^2]\)

X20573
X50の等距離共役点
isotomic conjugate of X50

\(f(a,b,c)=g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^4[(b^2+c^2-a^2)^2-b^2c^2]\)

X23719
外心のチェバ三角形の外心
circumcenter of the Cevian triangle of the circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(a^{18}(b^2+c^2)-2a^{16}(3b^4+5b^2c^2+3c^4)+a^{14}(b^2+c^2)(13b^4+17b^2c^2+13c^4)-a^{12}(7b^8+39b^6c^2+54b^4c^4+39b^2c^6+7c^8)-3a^{10}(b^2+c^2)(7b^8-17b^6c^2+4b^4c^4-17b^2c^6+7c^8)+a^8(b^2-c^2)^2(49b^8+57b^6c^2+66b^4c^4+57b^2c^6+49c^8)-7a^6(b^2-c^2)^2(b^2+c^2)(7b^8-3b^6c^2+8b^4c^4-3b^2c^6+7c^8)+a^4(b^2-c^2)^4(27b^8+43b^6c^2+46b^4c^4+43b^2c^6+27c^8)-a^2(b^2-c^2)^6(b^2+c^2)(8b^4+11b^2c^2+8c^4)+(b^2-c^2)^6(b^8+b^6c^2-2b^4c^4+b^2c^6+c^8))\)

X29959
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2)(a^4-b^4+4b^2c^2-c^4)\)

X30806
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=bc[2a^2-a(b+c)-(b-c)^2]\)

X31495
マルファッティ円の曲率重心 (マルファッティ三角形のジェルゴンヌ点)
centroid of curvatures of the Malfatti circles (Gergonne point of the Malfatti triangle)

\(f(a,b,c)=\dfrac{\left(2\sqrt{ca}+\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(2\sqrt{ab}+\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{2\sqrt{bc}+\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)}}+a\)

別表現1 \(f(a,b,c)=\sqrt{\dfrac{\left(c^2+a^2-b^2+6ca+4\sqrt{ca(a+b+c)(c+a-b)}\right)\left(a^2+b^2-c^2+6ab+4\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\right)}{b^2+c^2-a^2+6bc+4\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}}+a\)

別表現2 \(f(a,b,c)=a\left(\dfrac{2\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(c+a-b)}{4ca}}\right)\left(1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(a+b-c)}{4ab}}\right)}{1+\sqrt{\dfrac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}}}+1\right)\)

X32038
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(a+b-c)(a-b+c)(ab+2ac+b^2+bc)(2ab+ac+bc+c^2)\)

X32039
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(ab-ac-bc)^2(ab-ac+bc)^2\)

X32040
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(3a^2+2ab-2ac+3b^2-2bc-c^2)(3a^2-2ab+2ac-b^2-2bc+3c^2)\)

X32041
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(ab+2ac-b^2+bc)(2ab+ac+bc-c^2)\)

X32042
(名称検討中)
(name pending)

\(f(a,b,c)=(a-b)(a-c)(2a+2b+c)(2a+b+2c)\)

X32078
外心のチェバ三角形の重心
centroid of the Cevian triangle of the circumcenter

\(f(a,b,c)=a^2(b^2+c^2-a^2)[2a^4-3a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2][a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]\)

X32167
内心のチェバ三角形の九点円の中心
nine-point center of the Cevian triangle of the incenter

\(f(a,b,c)=a[3a^5(b+c)+a^4(b^2+4bc+c^2)-a^3(b+c)(6b^2-bc+6c^2)-2a^2(b^4+3b^3c+3b^2c^2+3bc^3+c^4)+a(b-c)^2(b+c)(3b^2+5bc+3c^2)+(b-c)^2(b+c)^4]\)

X40297
冪曲線の内心での接線上の無限遠点
infinite point on the line tangent to the power curve at the incenter

\(f(a,b,c)=ab(\log a - \log b) + ac(\log a - \log c)\)

X40298
冪曲線の重心での接線上の無限遠点
infinite point on the line tangent to the power curve at the centroid

\(f(a,b,c)=2\log a - \log b - \log c\)

X40299
冪曲線の類似重心での接線上の無限遠点
infinite point on the line tangent to the power curve at the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2b^2(\log a - \log b) + a^2c^2(\log a - \log c)\)

X40300
冪曲線の内心での接線の三線極点
trilinear pole of the line tangent to the power curve at the incenter

\(f(a,b,c)=a(\log a - \log b)(\log a - \log c)\)

X40301
冪曲線の重心での接線の三線極点
trilinear pole of the line tangent to the power curve at the centroid

\(f(a,b,c)=(\log a - \log b)(\log a - \log c)\)

X40302
冪曲線の類似重心での接線の三線極点
trilinear pole of the line tangent to the power curve at the symmedian point

\(f(a,b,c)=a^2(\log a - \log b)(\log a - \log c)\)

X40303
X40297の等角共役点
isogonal conjugate of X40297

\(f(a,b,c)=ag(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=ab(\log a - \log b) + ac(\log a - \log c)\)

X40304
X40298の等角共役点
isogonal conjugate of X40298

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=2\log a - \log b - \log c\)

X40305
X40299の等角共役点
isogonal conjugate of X40299

\(f(a,b,c)=a^2g(b,c,a)g(c,a,b)\)  ただし、 \(g(a,b,c)=a^2b^2(\log a - \log b) + a^2c^2(\log a - \log c)\)


初出:2015-03-07 最終更新:2022-04-28 11:54:18 +0900
著者:鴨浩靖