2024年度「プログラミング言語1」「プログラミング言語演習」のページ

1. $1$から$99$までの正整数に対して、コラッツ予想の手続きで$1$にたどり着くまでの総ステップ数、$3$倍して$1$を足す回数、$2$で割る回数の表を出力するプログラムを書け。

   ステップ数

   最初の数	総ステップ数	2で割る回数	3倍して1を足す回数
   1	0	0	0
   2	1	0	1
   3	7	2	5
   4	2	0	2
   5	5	1	4
   6	8	2	6
   7	16	5	11
   8	3	0	3
   9	19	6	13
   10	6	1	5
   11	14	4	10
   12	9	2	7
   13	9	2	7
   14	17	5	12
   15	17	5	12
   16	4	0	4
   17	12	3	9
   18	20	6	14
   19	20	6	14
   20	7	1	6
   21	7	1	6
   22	15	4	11
   23	15	4	11
   24	10	2	8
   25	23	7	16
   26	10	2	8
   27	111	41	70
   28	18	5	13
   29	18	5	13
   30	18	5	13
   31	106	39	67
   32	5	0	5
   33	26	8	18
   34	13	3	10
   35	13	3	10
   36	21	6	15
   37	21	6	15
   38	21	6	15
   39	34	11	23
   40	8	1	7
   41	109	40	69
   42	8	1	7
   43	29	9	20
   44	16	4	12
   45	16	4	12
   46	16	4	12
   47	104	38	66
   48	11	2	9
   49	24	7	17
   50	24	7	17
   51	24	7	17
   52	11	2	9
   53	11	2	9
   54	112	41	71
   55	112	41	71
   56	19	5	14
   57	32	10	22
   58	19	5	14
   59	32	10	22
   60	19	5	14
   61	19	5	14
   62	107	39	68
   63	107	39	68
   64	6	0	6
   65	27	8	19
   66	27	8	19
   67	27	8	19
   68	14	3	11
   69	14	3	11
   70	14	3	11
   71	102	37	65
   72	22	6	16
   73	115	42	73
   74	22	6	16
   75	14	3	11
   76	22	6	16
   77	22	6	16
   78	35	11	24
   79	35	11	24
   80	9	1	8
   81	22	6	16
   82	110	40	70
   83	110	40	70
   84	9	1	8
   85	9	1	8
   86	30	9	21
   87	30	9	21
   88	17	4	13
   89	30	9	21
   90	17	4	13
   91	92	33	59
   92	17	4	13
   93	17	4	13
   94	105	38	67
   95	105	38	67
   96	12	2	10
   97	118	43	75
   98	25	7	18
   99	25	7	18

1. 正整数 $n$ の約数の総和を $f\left(n\right)$ とする。たとえば、 $28$ の約数は $1$, $2$, $4$, $7$, $14$, $28$ の6個なので、 $f\left(28\right)=1+2+4+7+14+28\mathrm{=}56$ である。

   正整数 $n$ を入力して、 $f\left(n\right)$ を出力するプログラムを書け。

2. 正整数 $n$ の約数の個数を $f\left(n\right)$ とする。たとえば、 $28$ の約数は $1$, $2$, $4$, $7$, $14$, $28$ の6個なので、 $f\left(28\right)=6$ である。

   正整数 $n$ を入力して、 $f\left(n\right)$ を出力するプログラムを書け。

浮動小数点数 $a$ と整数 $n$ をこの順に入力し、以下の計算をして結果を出力するプログラムを書け。ただし、入力値が条件に合わない場合は、プログラムは何も出力せずに終了せよ。なお、出力は小数点以下8桁で ?.????????e±?? の形式（printfで %.8e を使うと良い）で行うこと。

1. （二次元） $a>0$ かつ $n\ge 3$ のとき、辺の長さが $a$ の正$n$角形に対して、以下の四つを計算して出力するプログラムを書け。

   • 内接円の半径
   • 外接円の半径
   • 周長が等しい円の半径
   • 面積が等しい円の半径

2. （三次元） $a>0$ かつ $n\in \{4,6,8,12,20\}$ のとき、辺の長さが $a$ の正$n$面体に対して、以下の四つを計算して出力するプログラムを書け。

   • 内接球の半径
   • 外接球の半径
   • 表面積が等しい球の半径
   • 体積が等しい球の半径

3. （四次元） $a>0$ かつ $n\in \{5,8,16,24,120,600\}$ のとき、辺の長さが $a$ の正$n$胞体に対して、以下の四つを計算して出力するプログラムを書け。

   • 内接超球の半径
   • 外接超球の半径
   • 表体積が等しい超球の半径
   • 超体積が等しい超球の半径

注意

• Cの三角関数はラジアンです。

• 円周率の近似値として $3.14$ は粗すぎです。

  Cで円周率の近似値を計算する方法の一つは、 atan(1)*4 です。 $\tan (\pi ⁄4)=1$ を利用して $\pi$ を計算します。 atan はCの標準関数の一つで、逆正接関数 $\arctan$ を計算します。

$a$ と $b$ を正の実数とする。 $a$ と $b$ の大きい方を $a_0$ とし、 $a$ と $b$ の小さい方を $b_0$ とする。 $a_0$ と $b_0$ の算術平均（相加平均）を $a_1$ とし、 $a_0$ と $b_0$ の幾何平均（相乗平均）を $b_1$ とする。 $a_1$ と $b_1$ の算術平均を $a_2$ とし、 $a_1$ と $b_1$ の幾何平均を $b_2$ とする。 $a_2$ と $b_2$ の算術平均を $a_3$ とし、 $a_2$ と $b_2$ の幾何平均を $b_3$ とする。 以下、これを無限に繰り返す。 すなわち、数列 $⟨a_n⟩$ と $⟨b_n⟩$ を以下の漸化式で定義する。 $$a_0=\max \{a,b\}$$ $$b_0=\min \{a,b\}$$ $$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$$ $$b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}$$

このとき、数列 $⟨a_n⟩$ と $⟨b_n⟩$ は同じ値に収束することが知られている。共通の極限値を $a$ と $b$ の算術幾何平均と呼ぶ。

1. 二つの浮動小数点数 $a$ と $b$ を入力して、以下のように定める $m$ と $m^{\prime }$ と $m^{″}$ を出力するプログラムを書け。 $a$ と $b$ の算術幾何平均を $m$ とする。 $a$ と $m$ の算術幾何平均を $m\prime$ とする。 $m$ と $b$ の算術幾何平均を $m^{″}$ とする。

   入力は $a$ も $b$ も正であると仮定して良い。出力は小数点以下12桁の小数表示で行い、1行に空白区切りで三つの数を上記の順で並べること。

ヒント0

目標誤差 $\epsilon$ を事前に決めておいて、 $a_n-b_n<\epsilon$ となった時点で計算を打ち切れば良い。なお、目標誤差 $\epsilon$ の決め方には『入門書のようなもの（仮）』§1.5.1 にある浮動小数点数の精度の説明が参考になるかもしれない。

ヒント1

$a>b$ のとき、 $n\ge 1$ で $$0<a_n-b_n<\frac{a-b}{2^n}$$ が成り立つことが、証明できる。すなわち、算術平均の計算と幾何平均の計算を $n$ 回繰り返せば、算術幾何平均との誤差は $(a-b)⁄2^n$ 未満にできる。

この事実は、目標誤差以下を達成するために十分な繰り返し回数を事前にすることに利用できる。すなわち、 $a_n-b_n$ の値を毎回評価して十分小さくなったら計算を打ち切るのではなく、事前に見積もった回数だけ繰り返す形でプログラムを書くことができる。 目標誤差が $\epsilon$ の場合、不等式 $$\frac{a-b}{2^n}\le \epsilon$$ を解けば十分な繰り返し回数がわかる。すなわち、繰り返し回数 $n$ が $$n\ge {\log }_2\frac{a-b}{\epsilon }$$ をみたせば良い。

計算例

$a$	$b$	$m$	$m^{\prime }$	$m^{″}$
1.000000000000	2.000000000000	1.456791031047	1.217662201672	1.717641883408
2.000000000000	3.000000000000	2.474680436236	2.231023598499	2.731021157480
3.000000000000	7.000000000000	4.789013583141	3.842271024705	5.842092968071