2020年度「離散数学」のページ

資料

写像 — 合成と全射・単射・全単射

\(f:A\rightarrow B\),  \(g:B\rightarrow C\) とする。

1.  \(f\) と \(g\) が全射ならば \({g\circ f}\) も全射である。

2.  \(f\) と \(g\) が単射ならば \({g\circ f}\) も単射である。

3.  \(f\) と \(g\) が全単射ならば \({g\circ f}\) も全単射である。

1の証明

\(z\in C\) とする。

\(g\) は全射なので、ある \(y\in B\) が存在して \(g(y)=z\) が成り立つ。\(f\) は全射なので、ある \(x\in A\) が存在してこの \(y\) について \(f(x)=y\) が成り立つ。したがって、\(g(f(x))=z\) が成り立つ。すなわち、\(({{g\circ f}})(x)=z\) が成り立つ。

任意の \(z\in C\) に対してある \(x\in A\) が存在して \(({g\circ f})(x) = z\) が成り立つので、\({g\circ f}\) は全射である。

2の証明

\(x,x'\in A\) について \(({g\circ f})(x)=({g\circ f})(x')\) が成り立つとする。すなわち、\(g(f(x))=g(f(x'))\) とする。

\(g\) は単射なので、\(f(x)=f(x')\) が成り立つ。さらに、\(f\) は単射なので、\(x=x'\) が成り立つ。

\(x,x'\in A\) について \(({g\circ f})(x)=({g\circ f})(x')\) ならば \(x=x'\) が成り立つので、\({g\circ f}\) は単射である。

3の証明

1と2より明らか。